社会人のための学び直し数学【高校数学方程式編その１】

１．1次方程式

　未知数 $${x,   y,   z,   \dots}$$ を含む等式のことを方程式といいます。
一般に $${f(x,   y,   z, \dots )=0}$$ と書くことができます。
ここで，$${f(x,   y,   z, \dots)}$$ は $${x,   y,   z,   \dots}$$ を含む，なんらかの式を表します。この等式をみたす（変数に代入したときにその等式が成り立つ）数 $${(x,   y,   z, \dots)}$$ の組を，方程式 $${f(x,   y,   z, \dots )=0}$$ の解といいます。また，どの数 $${(x,   y,   z, \dots)}$$ の組も，等式をみたすことがない場合は解なしといいます。また，方程式の解を求めることを，方程式を解くといいます。

　この編では変数が 1 つだけの

$$
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0
$$

という形をした多項式の方程式（変数は $${x}$$ で，$${a_n,   a_{n-1},   \dots,    a_1,   a_0}$$ は $${x}$$ についての各項の係数です）を考えます。

　初めに，$${n=1}$$ とした $${a_1x+a_0=0}$$ という方程式（$${n=1}$$ なので 1 次方程式といいます。）を見てみましょう。もちろん $${a_1\neq 0}$$ という条件をつけます。今後も方程式の最高次の項の係数は 0 でないものとします。

【参考】$${a_1=0}$$ の方程式 $${0\cdot x+a_0=0}$$ は次のように考えます。
　$${a_0=0}$$ のとき，解はすべての数になります。（不定）
　$${a_0\neq 0}$$ のとき，解なしになります。（不能）
不定は，解が確定しないことをいい，不能は解を求めることが不可能であることをいいます。

等式には，その両辺から同じ数や文字を引いても（あるいは加えても）意味（左辺と右辺が等しいという意味）が変わらないという性質があります。一般化すると

　$${A=B}$$ であれば $${A-C=B-C}$$（あるいは $${A+C=B+C}$$）である

となります。よって，方程式 $${a_1x+a_0=0}$$ は

　$${a_1x+a_0-a_0=0-a_0}$$ すなわち $${a_1x=-a_0}$$

となります。
さらに等式には，その両辺を 0 でない数で割っても意味が変わらないという性質があります。一般化すると

　$${C\neq 0}$$ のとき $${A=B}$$ であれば $${\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}}$$ である

となります。よって，$${a_1x=-a_0}$$ の両辺を $${a_1}$$ で割って
$${x=-\dfrac{a_0}{a_1}}$$ です。まとめると，

　1次方程式 $${a_1x+a_0=0}$$ の解は $${x=-\dfrac{a_0}{a_1}}$$ である

となります。

　ところで，$${a_1x+a_0=0}$$ を等式の性質を使って $${a_1x=-a_0}$$ と変形しましたが，この変形を方程式を解くときの 1 つの技術として考えます。すなわち「等号の一方の辺を構成する 1 つの項をもう一方の辺に移動するときには，符号を換えて移動する」という技術です。これを移項といいます。
$${a_1x+a_0=0}$$ では，左辺の $${a_0}$$ を右辺に移項して $${-a_0}$$ になると考え，$${a_1x=-a_0}$$ とするのです。

練習問題　次の方程式を解け。
（1）$${2x+1=0}$$　　　　　　（2）$${5x+3=2x-9}$$

【答】（1）$${x=-\cfrac{1}{2}}$$（2）$${x=-4}$$
【解説】（2）左辺の $${3}$$ を右辺に，右辺の $${2x}$$ を左辺に移行すると
$${5x-2x=-9-3}$$ となり，
$${3x=-12}$$ より $${x=-4}$$ となる。