社会人のための学び直し数学【高校数学文字式編その２】

３．展開公式１

　式を展開するとき分配法則を使って計算してもいいのですが，これから順次示す展開の公式を利用すると，よりスピィーディーに計算できます。

展開公式１　$${(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$$

　この公式を分配法則を使って導いてみましょう。前のカッコの中の式の各項 $${x}$$，$${a}$$ を後ろのカッコの中の式の各項 $${x}$$，$${b}$$ にかけます。

最後の等号では $${x}$$ の 1 次の項の前の $${b+a}$$ を $${a+b}$$ としています。和の交換法則を使って位置を入れ替えたのです。
　この展開公式１の特徴は，前のカッコの中の式と後ろのカッコの中の式で共通にある $${x}$$ という項について降べきの順（次数の高い順）に整理できること，共通でない項 $${a}$$，$${b}$$ はその和と積がそれぞれ $${x}$$ の 1 次の係数（着目している文字の前にかけている数字や文字を，着目している文字の係数といいます），0 次の係数（$${x}$$ に着目すれば定数項）に表れることです。

　この展開公式を使って $${(a+2b)(a-5b)}$$ を計算してみましょう。
まず，前後のカッコの中の式で共通な項は $${a}$$ で，共通でない項は $${2b}$$，$${-5b}$$ であることを確認します。すると計算結果は $${a}$$ について 2 次，1 次，0 次の順に整理できます。あとは $${2b}$$，$${-5b}$$ の和 $${2b+(-5b)=(2-5)b=-3b}$$ と積 $${2b×(-5b)=-10b^2}$$ を，それぞれ $${a}$$ について 1 次の係数と 0 次の部分にして
　　$${(a+2b)(a-5b)=a^2-3ba-10b^2}$$
としますが，中央の項 $${-3ba}$$ は文字をアルファベット順にするのが普通です。したがって，
　　$${(a+2b)(a-5b)=a^2-3ab-10b^2}$$
となります。

練習問題　次の展開をせよ。
（1）$${(x+4)(x+5)}$$　　　　　　　　（2）$${(a+4b)(a+5b)}$$

【答】（1）$${x^2+9x+20}$$（2）$${a^2+9ab+20b^2}$$
【解説】（1）式を展開すると $${x}$$ の次数について 2，1，0 の式として
　降べきの順に整理できます。4 と 5 については，和が 4+5=9，積が
　4×5=20 となるので，$${x^2+9x+20}$$ と展開できます。
（2）式を展開すると $${a}$$ の次数について 2，1，0 の式として降べきの
　順に整理できます。$${4b}$$，$${5b}$$ については，
　和が $${4b+5b=9b}$$，
　積が $${4b×5b=20b^2}$$
　となるので，$${a^2+9ba+20b^2}$$ と展開でき，さらに中央の項をアル
　ファベット順に並び替えて $${a^2+9ab+20b^2}$$ となります。 

４．展開公式２

　$${(a+b)^2}$$ の展開を考えてみます。
まず，$${(a+b)^2=(a+b)(a+b)}$$ です。次に展開公式１を使います。展開公式１は $${(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab}$$ でしたが，
ここで $${x}$$ を $${a}$$ に，$${a}$$，$${b}$$ をともに $${b}$$ と置き換えます。

　【注】公式化した式の便利なところは，このように公式の文字を任意の文
　　字に置き換えて考えることができるところです。

すると，$${(a+b)(a+b)=a^2+(b+b)a+b×b=a^2+2ba+b^2}$$
したがって，$${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$ となります。

　次に $${(a-b)^2}$$ の展開はどうでしょう。
上述の $${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$ を 1 つの展開公式と考えると，この公式の $${b}$$ を $${-b}$$ で置き換えたものになっています。したがって，
$${(a-b)^2=a^2+2a×(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$ となります。
これらを展開公式２とします。

展開公式２　$${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$，$${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$

練習問題　次の式を展開せよ。
（1）$${(2x+3)^2}$$　　　　　　　　（2）$${(2x-3y)^2}$$

【答】（1）$${4x^2+12x+9)}$$（2）$${4x^2-12xy+9y^2}$$
【解説】（1）$${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$ において $${a→2x}$$，$${b→3}$$ と置き換えます。
（2）$${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$ において $${a→2x}$$，$${b→3y}$$ と置き換えます。