社会人のための学び直し数学【高校数学２次関数編その４】

４．2次関数とx軸との共有点

　関数 $${y=x+1}$$ のグラフ（直線）は点 $${(1，2)}$$ を通るでしょうか？
このことを考えるには，$${y=x+1}$$ の $${x，y}$$ に $${x=1，y=2}$$ を代入して，式が成り立つかどうかを確かめます。$${2=1+1}$$ ですから，確かに成り立ち，関数 $${y=x+1}$$ のグラフは点 $${(1，2)}$$ を通るといえます。

　一般に，$${y=f(x)}$$ のグラフが点 $${(a，b)}$$ を通るなら $${b=f(a)}$$ が成り立ちます。逆に，$${b=f(a)}$$ が成り立つなら，$${y=f(x)}$$ のグラフは点 $${(a，b)}$$ を通ります。

　今回は上述の内容をもとに，2 つのグラフを与える式（そのグラフの方程式といいます。）と 2 つのグラフの共有点（交点と接点を合わせて共有点といいます。）との関係について考えます。特に，2 次関数のグラフ（放物線）と $${x}$$ 軸との共有点を中心に考えていきましょう。

【注】交点は交わる点，接点は接している点です。

　手始めに，異なる 2 つの直線が同一の平面上にあるとします。この 2 つの直線が交わることがないとき，2 つの直線は平行であるといいます。この定義から，平行でない 2 つの直線は必ず交点をもちます。
このことを方程式で考えると，
2 つの直線の方程式を $${y=mx+n，y=m'x+n'}$$ としたとき
$${m≠m'}$$ であるなら交点をもつといえます。

【参考】直線の方程式が $${y=mx+n}$$ と書けるとき，$${m}$$ を直線の傾き，$${n}$$ を直線の切片といい，異なる 2 つの直線が平行であることと，異なる 2 つの直線の傾きが等しいことは同値（数学的に同じ）です。

　それでは，方程式が $${y=-2x+5}$$ と書ける直線と，$${y=3x-5}$$ と書ける直線の交点を考えてみましょう。（2 つの直線の傾きは，それぞれ $${-2，3}$$ で，等しくないので，必ず交点をもちます。）

【注】今後「$${y=f(x)}$$ のグラフ」と書かずに，単に「$${y=f(x)}$$」と書いて「～のグラフ」を省略します。式がグラフについてなのか，単に方程式についてなのかは，それぞれの記述の流れから判断してください。

ここで交点は，$${y=-2x+5}$$・・・① 上の点でもあり，$${y=3x-5}$$・・・② 上の点でもあるので，①，② の式を同時に満たす $${x，y}$$ が交点の $${x}$$ 座標，$${y}$$ 座標です。したがって，これを求めるには ①，② を連立させて解けばよいことになります。
すると，①，② より $${3x-5=-2x+5}$$ から $${5x=10}$$
よって，$${x=2}$$ となり，$${x=2}$$ を ① に代入すると
　　$${y=-2×2+5=-4+5=1}$$
なので，交点の座標は $${(2，1)}$$ です。
【参考】もちろん $${y}$$ 座標については，$${x=2}$$ を ② に代入しても求められます。

　それでは，2 次関数 $${y=x^2-x-2}$$ と $${x}$$ 軸との共有点の座標を求めましょう。
$${x}$$ 軸は，$${y=0}$$ のところで $${x}$$ 軸に平行に伸びた直線ですから，その方程式は $${y=0}$$ となります。（$${x}$$ のどんな値に対しても $${y=0}$$ となるからです。）
よって，求める共有点の $${x}$$ 座標は $${y=x^2-x-2}$$ と $${y=0}$$ を連立させた $${x^2-x-2=0}$$ の解となります。
具体的には $${x^2-x-2=(x+1)(x-2)}$$ と因数分解できることから
$${(x+1)(x-2)=0}$$ より $${x=-1，2}$$ となり，
共有点，ここでは交点は $${(-1，0)，(2，0)}$$ です。

　一般に 2 次関数 $${y=ax^2+bx+c}$$ と $${x}$$ 軸との交点の $${x}$$ 座標は 2 次方程式 $${ax^2+bx+c=0}$$ から求められます。
2 次方程式の解の種類については，以前，判別式 $${D=b^2-4ac}$$ により分類しました。
　　$${D>0}$$ のとき異なる2つの実数解
　　$${D=0}$$ のときただ 1 つの実数解（重解という）
　　$${D<0}$$ のとき異なる 2 つの虚数解
となるのでしたが，これを，2 次関数のグラフと $${x}$$ 軸との共有点の関係としてまとめると
　　$${D>0}$$ のとき異なる 2 つの共有点をもつ（交点をもつ）
　　$${D=0}$$ のときただ 1 つの共有点をもつ（接点をもつ）
　　$${D<0}$$ のとき共有点はない
となります。
$${x}$$ 軸，$${y}$$ 軸で張られる座標平面は，2 つの実数で指定される点の集まりなので，$${D<0}$$ のときの 2 次方程式の場合は，共有点は存在しないという結論になります。
よって，グラフとの対応は次の図のようになります。

図4-1

　次に，$${y=x^2-3x+k}$$ が $${0＜x＜1}$$ の範囲では，ただ 1 点で $${x}$$ 軸と交わるとします。このとき $${k}$$ の条件を考えましょう。
これは 2 次方程式 $${x^2-3x+k=0}$$ が $${0＜x＜1}$$ の範囲では，ただ 1 つの解をもつ $${k}$$ の条件を求めることと同値です。
図 4-1 では $${D>0}$$ であるか $${D=0}$$ かのいずれかの場合に該当しそうです。
しかし，$${D=0}$$ はあり得ません。何故か。
それは，次の理由によります。
$${y=x^2-3x+k=\left(x-\cfrac{3}{2}\right)^2-\cfrac{9}{4}+k}$$ と変形できるので，放物線の頂点の座標は
　　$${\left(\cfrac{3}{2}，-\cfrac{9}{4}+k\right)}$$
となります。
そして，この放物線が $${x}$$ 軸と接するなら接点の座標は
　　$${\left(\cfrac{3}{2}，0\right)}$$
となりますが，この点は $${0＜x＜1}$$ の範囲にないからです。
【参考】もちろん，このとき $${k=\cfrac{9}{4}}$$ であり，$${D=0}$$ です。

ということで，$${D>0}$$ のもとで 2 次方程式の解を考え，
解の公式から $${x=\cfrac{3±\sqrt{9-4k}}{2}}$$
なので，そのうち，1 つの解が $${0＜x＜1}$$ となり

　$${0＜\cfrac{3-\sqrt{9-4k}}{2}＜1}$$ または $${0＜\cfrac{3+\sqrt{9-4k}}{2}＜1}$$

と考えます。しかし，

　$${0＜\cfrac{3+\sqrt{9-4k}}{2}＜1}$$

はあり得ないないので（$${\sqrt{9-4k}<0}$$ となってしまい矛盾します。）
　
$${0＜\cfrac{3-\sqrt{9-4k}}{2}＜1}$$

となる $${k}$$ の条件を求めればよい，となるのです。
しかし，この不等式から $${k}$$ の条件を導くのは少し面倒です。
もっと簡単に $${k}$$ の条件を求めてみましょう。
ポイントは，$${0＜x＜1}$$ の範囲は，放物線の対称軸の左側にあるので，$${x}$$ が増加すると $${y}$$ が減少するというグラフの特徴を利用することです。
すなわち $${x=0}$$ のとき $${y>0}$$ であり，$${x=1}$$ のとき $${y<0}$$ であるとすれば，そのグラフは必ず $${0＜x＜1}$$ で，ただ 1 点で交わるのです。下の図で，その様子を確認してください。

したがって，$${x=0}$$ のとき $${y=k>0}$$，
$${x=1}$$ のとき $${y=-2+k<0}$$
なので，$${0＜k＜2}$$ であることが求める条件です。

練習問題　$${y=x^2-3x+k}$$ が $${x}$$ 軸と異なる 2 点で交わる $${k}$$ の条件を求めよ。

【答】$${k<\cfrac{9}{4}}$$