社会人のための学び直し数学【高校数学２次関数編その１】

１．関数の表現

　大きさが無視できる物体を秒速 $${9.8}$$ m/s の速さで，地上から真上に投げ上げたとします。そして，投げ上げた瞬間を $${0}$$ 秒としたときの経過時間を $${x}$$ として，時間 $${x}$$ での地上からの高さを $${y}$$ としましょう。

【参考】普通，文字には単位が含まれていると考えるので，単位を強調したいときは $${x}$$ [s]，$${y}$$ [m] と，文字の後ろに [　] を付けて表します。ここでは，$${x}$$ の単位は秒（[s] と書きます），$${y}$$ の単位はメートル（[ｍ] と書きます）です。

$${y}$$ は $${x}$$ を用いて $${y=-4.9x^2+9.8x}$$ と書くことができます。
投げ上げて $${1}$$ 秒後の高さを知りたければ

$$
y=-4.9×1^2+9.8×1=4.9
$$

のように $${x}$$ に $${1}$$ を代入します。
投げ上げて $${2}$$ 秒後の高さを知りたければ

$$
y=-4.9×2^2+9.8×2=0
$$

のように $${x}$$ に $${2}$$ を代入します。

　$${x=2}$$ の場合は高さが $${0}$$ m となっていますがこれは，投げ上げた物体が再び地上に戻ってきた時間が，物体を投げ上げた $${2}$$ 秒後であると考えることができます。物を真上に投げ上げて，しばらくして地上に戻ってくる様子をイメージしてみて下さい。

　このように時間 $${x}$$ を決めれば式 $${y=-4.9x^2+9.8x}$$ から，その時間での高さ $${y}$$ が決まります。このことを高さ $${y}$$ は時間 $${x}$$ の関数であるといいます。

　一般に $${f(x)}$$ を上の式のように $${x}$$ を用いて表現した式とします。そして，$${y}$$ と $${f(x)}$$ の間に $${y=f(x)}$$ という関係があって，$${x}$$ の値を 1 つ決めると，それに対応して $${y}$$ の値がただ $${1}$$ つ定まる場合，$${y}$$ は $${x}$$ の関数であるといいます。（注：ここで $${x，y}$$ は実数）
また，$${x}$$ を独立変数，$${y}$$ を従属変数とよびます。そして，式 $${f(x)}$$ が $${x}$$ の 2 次式になっているときの関数が，2 次関数です。

　したがって，$${y=-4.9x^2+9.8x}$$ から，物体を真上に投げ上げたときの高さは，時間に関する 2 次関数として表現できることになります。
　ところで，$${y=-4.9x^2+9.8x}$$ で $${x=3}$$ とすると $${y=-14.7}$$ と計算できて，高さが $${-14.7}$$ m と負の数になってしまいます。これは物体が地上より下にあることを意味するのですが，実際は地上で留まるはずなので $${2}$$ 秒より先の時間で $${y}$$ を考えても得られるところがありません。また，$${x}$$ には負の値を代入（投げ上げる前の時間を考えることに対応）しても式自体は成立しますが，高さ $${y}$$ を考える限り同様に得られるところがありません。このような場合には，時間に制限をかけて

$$
0≦x≦2
$$

とします。すなわち，$${y=-4.9x^2+9.8x}$$ を考えるとき $${x}$$ は $${0}$$ から $${2}$$ までの間で変化させるということになります。この独立変数 $${x}$$ のとり得る値の範囲を定義域といいます。この定義域に応じた従属変数 $${y}$$ のとり得る値の範囲を値域といいます。
$${y=-4.9x^2+9.8x}$$ においては，今の場合，定義域は $${0≦x≦2}$$ となり，値域は $${0≦y≦4.9}$$ となります。$${x=0}$$ で $${y=0}$$ であり，$${x=2}$$ で $${y=0}$$ なのだから，値域は $${0}$$ ではないのかという疑問が浮かぶかもしれません。値域の考え方は，今後の主題の 1 つなので，ここでは詳しく説明しませんが，疑問は疑問として持ち続けてください。今後，解法が示されたとき「ああ，そうなのか」と納得するのも学習の楽しみの 1 つです。
今後の記事を楽しみにお待ちください。

練習問題　1 次関数 $${y=x+1}$$ の定義域が $${0≦x≦5}$$ のとき，値域を求めよ。

【答】$${1≦y≦6}$$
【解説】$${y=x+1}$$ から，$${x}$$ が増加すれば $${y}$$ もそれに応じて増加することがわかる。そして，$${x=0}$$ のとき $${y=1}$$ であり，$${x=5}$$ のとき $${y=6}$$ であることから，$${y}$$ は $${1→6}$$ と増加していくと考えられる。したがって，値域は $${0≦y≦6}$$ である。