行列の取り扱いについてのメモ

行列はベクトルの集合体

行列はベクトルを複数まとめて一気に記述する手法。

行列はベクトル成分を縦に並べて記述する。

行列式(det)は何を表すのか

行列式は、扱う行列が2次ならば2つのベクトルが作る平行四辺形の面積を表す。
3次ならば3つのベクトルが作る六面体の体積を表す。
n次の行列式を求めたいなら必ず行列がもつベクトルの数(＝列数)は必ずnでなければならない。例えば面積を求めたいのに、ベクトルが1つや3つではそもそも面積が成立しないからである。
正則でない行列が行列式を持たない(行列式がゼロとなる)理由はまさにこれである。
なお、求まる面積や体積はベクトルの位置関係によって負の値を取る事もある。

2次の行列の行列式は、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積を表す

正方行列と正則行列

さて、つい先ほど

正則でない行列が行列式を持たない(行列式がゼロとなる)理由はまさにこれである。

と述べたが、なぜ正方行列ではなく正則行列である必要があるのか。
2次行列を例に考えてみよう。2次行列の中に全く同じ成分を持ったベクトルが複数存在していた場合、行列式を求めるすなわち面積を求める事を考えるとどうだろうか。
2つのベクトルは重なっている為、面積は0以外になり得ない。
このように、正則ではない行列の行列式を求める事はできない。

このように、ベクトルたちが全て異なる成分を持っている状態を1次独立(線形独立)であるという。
もう少し厳密に表現すると、
ベクトルを定数倍したものを足し合わせて零ベクトルをつくる際、係数を全て0にする以外に方法がない時、それらのベクトルは1次独立(線形独立)であるという。

行列式を持つためには、正方行列なだけでは不十分なのである。

執筆中