【数学】三角関数の積分

対象：定期試験以上

ここでは　三角関数の積分　について学習します
次の3つは　別の記事で扱うこととし　純粋な三角関数のみの積分を扱うことにします

◆$${(多項式)\times (三角関数)}$$　→　部分積分
◆置換積分で三角関数を利用するもの　→　特殊な置換積分
◆$${n\ 次の定積分}$$　→　積分漸化式

まずは基本から確認していきましょう

微分公式ですが　$${\tan x}$$ の微分は2種類とも覚えましょう
とはいっても　数学Iの三角比の相互関係の式です
どちらの形も使います

$${\dfrac{f'(x)}{f(x)}}$$のタイプなので　対数が出てきますね

積分においては　角度に係数がついているより　次数が高いほうが困る
ということになります
(ただし積分漸化式があったり　式の形によって変わる)

半角の公式を用いて次数を下げました
結果的に　$${\cos 2x}$$　のように角度に係数がつきますが積分計算では問題はありません

さて　次の問題の前にちょっと準備します
合成関数の微分の確認です

この式の右辺の形は　逆算により積分計算がしやすい形です
実際には次のようになります

慣れないうちは　上に書いたように置換積分しますが
慣れてくれば　問題によっては置換せずにそのまま積分できるようになります

単に合成関数の微分の逆算をしているだけです
問題の前に書いたものを考えて適用しています

また　次数を下げようとするなら　3倍角の公式を用いて
次のように解くこともできます

さて　次です

そのままでは積分できないので
(1)は　$${\dfrac{1}{\cos x} =\dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}=\cos x \dfrac{1}{1-\sin^2 x}}$$
(2)は　$${\dfrac{1}{\sin x} =\dfrac{\sin x}{1-\cos^2 x}=\sin x \dfrac{1}{1-\cos^2 x}}$$
と変形すると　$${\cos x f(\sin x)，\sin x f(\cos x)}$$　の形になるので
積分できることになりますが
$${f(x)}$$の積分が　さらに変形が必要なタイプです


また(2)では(1)の結果を利用した解法をしました
$${\sin x じゃなくて \cos x だったらわかるのにな(逆も同じ)}$$
というときには　$${\sin x \ と\ \cos x }$$を置換によってチェンジしましょう

(2)は$${\dfrac{1}{\tan x}}$$の微分の逆算に$${-1}$$をかけたものですね
これを覚えている人は　それを利用して解いても良いでしょう

次で最後です

今回はここまでです
ちょっと変形すれば　上の議論が使えるものがほとんどです
特に　$${\cos x f(\sin x)， \sin x f(\cos x)，\dfrac{f'(x)}{f(x)}}$$　タイプは重要なのでしっかり身につけましょう