【数学】常用対数と桁数

対象：定期試験以上

今回は常用対数と桁数のお話です
さて　まず対数のグラフを確認しましょう
常用対数ですから　$${y=\log_{10} x}$$　のグラフを考えます

見やすいようにだいぶデフォルメしたグラフになります
底が1より大きいので　単調増加　ですね
ここが大事で　$${x}$$と$${y}$$が1対1に対応して
$${x}$$と$${y}$$の大小関係と　$${\log_{10}x}$$と$${y=\log_{10}y}$$の大小関係が一致していますね
もうちょっと部分的に見てみると

となり　$$x$$の桁数　と　$$\log_{10} x$$　の対応がわかります

$${\log_{10} x=45.36　→　x \ は46桁}$$　ということです
次に小数部分です

小数部分が全部同じですね　もう少し一般的に書くと

というわけで，最高位の数を知るには
$${\log_{10}} m　(1\leqq m\leqq 9)$$　の値が必要となります
ここで

となるので

$${\log_{10}2=0.3010，\ \log_{10}3=0.4771}$$
はほとんどの問題で与えられます

これらと　$${y=\log_{10}x}$$の単調増加性を使えば

ということになりますね

$${\log_{10}x=12.4046}$$　とわかれば
整数部分が12　→　13桁
小数部分について　$${0.3010<0.4046<0.4771}$$　なので
　→　最高位の数字は2

ここまでが一通り理解できれば
それを言葉にすればよいということになります

1問見てみましょう

後半について簡単に言えば

$${12.3010<12.341<12.4771}$$　を
対数を用いないで表すと　$${2\cdot 10^{12}<2^{41}<3\cdot 10^{12}}$$
よって　最高位は2

ということになります