【数学】解の個数と定数分離

対象：定期試験以上

今回は　関数の分野で解の個数の1つの問題を扱います
最初に出てくるのは　2次関数の分野で
その後，様々なところで出てくる基本的な論点です

2次方程式の解の個数　つまり　2次関数と$${x}$$軸の交点の個数は
判別式によって解決します
解の個数を判別するから　判別式　でした

関数$${f(x)}$$の中に文字$${a}$$が含まれていたとしても
次のように単純に判別式によって　場合分けできましたね

ところが　2次関数でない場合にはそもそも「判別式」というものが存在しません
したがって，グラフを描いて$${x}$$軸といくつの点で交わるか　を考えるわけですが　文字定数$${a}$$が含まれていると　メンドウです

さて，方程式の解とはグラフの交点の$${x}$$座標と言い換えることが出来ました

これより

方程式の解の個数をグラフの交点の個数として数えよう

というのが基本的考えです

さて，実際に1問見てみましょう

絶対値がついているので，2次方程式ではありません．
場合分けをして，絶対値を外して議論することもできますが
場合分けによって　$${x\geqq 〇}$$のとき　のような議論になるので
メンドウになります

今回の場合には，定数$${k}$$のみを分離できますから
$${y=f(x)}$$と$${y=k}$$の交点の個数を数えればよいことになります
これがいわゆる「定数分離」です

しかし，問題によっては定数$${k}$$のみを分離できないこともあります
例えば　$${f(x)=kx }$$　などのようになる場合です

このような場合には　$${y=f(x)}$$　と　$${y=kx}$$　のグラフの交点の個数を考えましょう

$${固定されたグラフ=k \ の簡単な関数}$$　の形にして，解の個数(交点の個数)を視覚的にとらえることが目的です

以上　解の個数と定数分離のお話でした