【数学】漸化式その3

対象：定期試験以上

今回は　漸化式　の3回目です
前回前々回はこちら

今回のテーマは　3項間漸化式　と　連立漸化式　です

3項間漸化式

3項間漸化式は　$${a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0}$$　のように
前2項が定まって　はじめてその次が定まるというものです
与えられた漸化式の中に3つの項があれば3項間漸化式なのですが
入試ではほぼ　$${a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0}$$　だといってもよいでしょう
というわけで　このタイプのみをここでは扱います

ここでも「特性方程式」が出てきました
1回目の内容で述べたように
「もしこの形に変形できたとしたら」と考えると出てきます

もし②の形になったとしたら　置き換えにより等比数列になります
つまり　解くことができるんですね
ですから　②の形にしたい　と考えるわけです
結果として　特性方程式が得られました

では　問題で使ってみましょう

では　次です

特性方程式の解が重解の場合は　式が1つしか作れませんが
その1つだけで　解くことができます
よって　最初の問題も　式を1つだけ使って解くこともできます

連立漸化式

さて次は連立漸化式
2つの漸化式によって　2つの数列が順次定義されていく数列です

では問題

連立漸化式から　数列$${\{a_n\}}$$の項を消去してすべて$${\{b_n\}}$$の項で表すと　3項間漸化式となります

また，次のように解くこともできます
「もしこの形に変形できたとしたら」です

解答中の$${(*)}$$の式が作れれば　等比数列型にもっていけるので
解くことが出来ます
いわゆる　「連立漸化式の特性方程式」のようなものですが
3項間漸化式にもちこめるので　覚える必要はありません
覚えることは　少ない方がいい
ただし「もしこの形に変形できたとしたら」と考えることで　
導き出せるものだ　ということは理解しておきましょう

では次です　誘導がある問題です

誘導がある場合には　問題で指定された式を作る方向に式変形していけばよいだけです

最後は　文字に対称性がある場合です

文字に対称性がある場合は　和と差　を考えることで解くことができます
3項間漸化式にもちこむことで　普通に解くこともできますが
簡単に処理できる特別な場合　といったところでしょうか

今回はここまで