【数学】約数の個数

対象：定期試験以上

今回は　約数の個数　についてです

$${n=p^a\cdot q^b\cdot r^c}$$　と素因数分解されるとき
$${n}$$の約数としては　$${pr^2}$$　や　$${p^2qr}$$　などの形
つまり　$${p^x q^y r^z }$$　の形をしていて
$${0\leqq x\leqq a，0\leqq y\leqq b，0\leqq z\leqq c}$$　であるから
$${x}$$は$${a+1}$$個，$${y}$$は$${b+1}$$個，$${z}$$は$${c+1}$$個の選択肢があるので
$${n}$$の約数の個数は$${(a+1)(b+1)(c+1)}$$個　となります

このことから　次のいくつかの事実が得られます

また　平方数については次の事実がありました

これと上の約数の個数から　次が得られます

実際36の約数は
1， 2， 3， 4， 6
36，18，12， 9
の9個であり　積が36の2数が組で出てきますが
平方数であるので　6が1つだけ余りますね

また　約数の総和も重要です

展開したときに　すべての約数が出てきますので
これを(展開せずに)計算した値は　約数の総和になっています

いくつか練習しましょう

最後の(4)の積については　600の約数を考えると
積が600となる2数の組み合わせが　12組(約数24個の半分)でてきます
したがって　$${600^12}$$　となります

では次です

では次

最後に受験問題に挑戦してみましょう