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【数学】剰余類(余りによる分類)
対象:定期試験以上
今回は 剰余類 に関するお話です
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さて 剰余類の利用ですが 自然数に関する命題を証明するときに使います
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剰余類による証明以外には 次のようなものがあります
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さて 何で割った余りで考えるかについては
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としか いいようがありません.
3の倍数 や 3で割った余り などと言われていれば3の剰余類
特に言及されていなければ 小さい数(2や3)の剰余類で都合がよいもの
という感じです
また 合同式 というものがあります
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これは合同式のところでまた触れます
ちょっと問題をやってみましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1693203624368-CNGmySPuLU.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1693203633045-NoWt41JbKd.png?width=1200)
等差数列の連続する3項ですから 必ず3の倍数を含みます
よって1つは必ず3とすぐにわかるのですが
それしかない ということを記述しましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1693203718016-CrwOi0zRoS.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1693203727956-mW0MkQudU4.png?width=1200)
「5の倍数」とあるので5の剰余類を考えます
5の剰余類は$${5m,5m+1,5m+2,5m+3,5m+4}$$の5つであり
5つに場合分けをしても良いですが
2乗したときに定数が同じになることから
解答のように$${5m,5m\pm 1,5m\pm 2}$$のようにしてもかまいません
また 13の剰余類 などのように数が大きい場合には
ひとまずまとめて $${13m+k (0\leqq k\leqq 12)}$$ とおいて式変形をしてから議論することもあります
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