【数学】アポロニウスの円

対象：定期試験以上

今回は　アポロニウスの円　についてです

アポロニウスの円とは　2点A，Bからの距離の比が
$${{\rm AP：BP}=1：k　(ただし\ k\neq 1)}$$　となるような点P全体の集合です
比ですから$${k>0}$$の意味が入っていて
$${k=1}$$のときは　$${{\rm AP：BP}=1：1}$$　となり
ABの垂直二等分線となります

$${k\neq 1}$$のときに　実際に円になることは「軌跡」のところで学習すると思いますが確認しておきましょう

これで円となることがわかりました

受験での出題形式が記述でなく　穴埋めならば
アポロニウスの円を用いて解答してもよいです

また　ベクトルや複素数平面(数学III)においても同様で
それぞれ
$${|\vec{p}-\vec{a}|=k|\vec{p}-\vec{b}|}$$，　　$${|z-\alpha |=k|z-\beta|}$$　は
$${k=1}$$のとき垂直二等分線　$${k\neq 1}$$のとき円となります

3次元空間においても　

$${{\rm AP：BP}=1：k}$$となる図形を考えることができて
$${k=1}$$のとき　ABの垂直二等分面
$${k\neq 1}$$のとき　球面となります

どのような点の集まりか　という図形的定義は覚えておきましょう
放物線・双曲線・楕円については数学IIIです