【数学】関数の置き換えと最大最小

対象：定期試験以上

今回は　関数の最大最小問題　の1つの基本的テーマを扱います

原則として，関数の最大最小を調べるには

グラフを描いて　目で考えよう

となります
これは　複雑な関数においても変わりません
2次関数なら平方完成，それ以外では必要があれば微分して増減表をかき，極限を考えてグラフの概形を得る
というのが普通です
しかし

関数が複雑だった場合には　
適当な置換えをして　簡易な関数で考えても
求める最大値・最小値は変わらない

これより，置換えによってカンタンな関数で考えられるのなら
それに越したことはないですよね
もちろん　グラフを描け　と言われたら置換えせずそのまま議論することになります

置換えをする際1つ注意点があります

置換えによって　もとの関数とは別の変数の関数となりますが

置換えたら　まず変域を考えよう

ここだけは，クセをつけておきましょう
さて　1問見てみましょう

(1)で置換えの誘導がついていて
(2)でその関数で最大最小を考えてくれ
という構成です
$${-4\leqq x\leqq -1}$$と$${x}$$の範囲が限定されていますので
(2)で$${t}$$の関数の最大最小を考えるには
$${t}$$の変域が必要になります
そして，最大最小を求めた後は
最大最小を与える$${t}$$の値から
対応する$${x}$$の値を求めればOK　という流れです

今回は4次関数を2次関数にしましたが
様々な関数で「置換え」がされます
そのときに大切なのが

置換えたら　まず変域を考えよう

ということになります