⑩［展開型 男女の争い］ゲーム理論をChatGPT4oだけで勉強

前に解決した「男女の争い」を、今度は展開型にしてみる。

最初に女性が選択し、次に男性が選択する。
古典的な問題の場合はMathematicaを使わずともきちんと答えを出す。
こりゃいい。

男女の争いをゲーム理論で表現します。 男女2人は夜のデートにボクシングかダンスを見に行きます。 男性はボクシングが好き。女性はダンスが好きです。 お互い、好きなものを見に行きたいですが、 2人が一緒に行けるのが最も良いです。 2人がボクシングを見に行くと男性は+2，女性は+1 2人がダンスを見に行くと男性は+1，女性は+2 別々に見に行くと、二人共-1です。
展開型ゲームとして、最初に女性が選択して、 その選択を知った上で男性が選択を行うとします。 ナッシュ均衡を求められますか？

プロンプト

この状況は「バトル・オブ・ザ・セックス（Battle of the Sexes）」と呼ばれる典型的なゲーム理論の問題です。展開型ゲームで、女性が先に選択し、その後男性が選択するというシナリオでナッシュ均衡を求めます。

1. ゲームの木の構造女性の選択: 最初に女性が「ボクシング」か「ダンス」を選択します。
男性の選択: 女性の選択を知った上で、男性が「ボクシング」か「ダンス」を選択します。

2. 利得表
　　　　　　　　　男性: ボクシング　　男性: ダンス
女性: ボクシング　　(2, 1)　　　　　　　(-1, -1)
女性: ダンス　　　　(-1, -1)　　　　　　　(1, 2)

2人ともボクシング：男性2, 女性1
2人ともダンス：男性1, 女性2
別々：お互い -1

3. 最適戦略とナッシュ均衡の求め方
(1) 女性の選択に対する男性の反応女性が「ボクシング」を選ぶ場合: 男性の利得は「ボクシングを選ぶ」場合に +2、「ダンスを選ぶ」場合に -1。従って、男性は「ボクシング」を選ぶ。
女性が「ダンス」を選ぶ場合: 男性の利得は「ダンスを選ぶ」場合に +1、「ボクシングを選ぶ」場合に -1。従って、男性は「ダンス」を選ぶ。

(2) 女性の最適戦略
女性は男性の反応を知っています。男性は、女性の選択に従って自分の利得を最大化する戦略を選びます。女性が「ボクシング」を選ぶと、2人とも「ボクシング」に行くので、女性の利得は +1。
女性が「ダンス」を選ぶと、2人とも「ダンス」に行くので、女性の利得は +2。

したがって、女性は「ダンス」を選びます。

4. ナッシュ均衡
女性が「ダンス」を選び、その後男性も「ダンス」を選ぶことがナッシュ均衡となります。このとき、利得は (1, 2) です。

つまり、**ナッシュ均衡は「女性がダンスを選び、男性もダンスを選ぶ」**という結果になります。

ChatGPT4o

展開型でない場合は、混合型戦略がナッシュ均衡だった。
やはり市場の競争原理においては大資本で先に動く方が有利なのか。