FEコンテストに参加した話

さいとうたくま(ほんみょう)

2023年4月22日 20:50

twitterで個人が開いていたFE(関数方程式)のコンテストに参加した.
問題とかは,これを見ていただきたい.

FEコンテスト始まりました！問題です〜
質問とかはここのリプ欄かDMでお願いします pic.twitter.com/6noe33qBc2
— ソーダ氷 (@soda_math) April 3, 2023

所感

まあ関数方程式を解いたことがある人は誰でも解けるでしょう。全射性を使うだけの問題でしたね。
第一印象は,整数のお話するの苦手だし沼りそうだなと思いました。ですが,普通に不等式評価で終わってしまいましたね。一安心でした。
代入だとあまり進まなかったですね。どうせ定値だから,非増加か非減少がいえるか,$${f}$$を下から抑えれるのかなと思って弱い不等式見てたら解けました。値域が下に有界だったりするときの典型だと思います。適当に代入して解けるパズルゲーぽさがなくて良いなと思いました。
ぱっと見で,$${x=1}$$と$${x,-x}$$の比較が刺さりそうだなと思いました。$${x=1}$$はすぐに見つけたいですね。なぜなら,$${f}$$がたくさん消えるからです。FEはこういう代入をよくしますから,覚えておきたいものです。もう一つのほうも同じで、比較をしたときにたくさんの項が消えるようなものを選んだだけです。この二つに注意を払いながら,色々すれば具体的な値が求まって行って終わります。代入がたくさんある問題だと思いますが,しっかり知識がないと少し難しいのかなと思いました。
代入していくと,少し大きくなれば非減少であることがわかります。あとはやればわかるかなという感じです。奇々怪々な解があるわけではないし,最初に解にあたりをつけていれば,簡単に解けたかなと思います。
上から強く抑えれるので,どこかの極限をとればうまくいきそうだなと思いました。あとは,いろいろすれば解けます。こういう見た目の問題はとても難しいものもあれば簡単なものもあります。そういう時は極限を使う心の準備と諸知識が必要だと思います。