臨界減衰（振動について）

速度に比例する空気抵抗を受けて振動するばねの重りPの位置xが次の微分方程式で表されるとき、これを解く。（$${\ddot{x} +6\dot{x}+9x=0}$$。ただし、$${t=0}$$の時、$${x=0,v=0}$$とする。）

この解は$${x=e^{\lambda t}}$$（$${\lambda}$$は定数）と推定できる。
$${\dot{x}=\lambda e^{\lambda t}}$$、$${\ddot{x}=\lambda^2 e^{\lambda t}}$$なので、
$${\lambda^2 e^{\lambda t}+6 \lambda e^{\lambda t}+9e^{\lambda t}=0}$$
両辺を$${e^{\lambda t}}$$で割って。
$${\lambda^2+6 \lambda +9\lambda=0}$$
$${\lambda=-3}$$
このような、$${\lambda}$$が重解の場合には、もう一つの階として、$${x_2=t \cdot x_1=te^{\lambda t}}$$がある。