保存力

保存力についてまとめます。

保存力の意味

保存力は、以下の式のようにポテンシャルUが存在して、その偏微分によって表現できる。

$$
\begin{array}{}
W_c=[f_x, f_y, f_z]=(-\frac{\partial{U}}{\partial{x}},-\frac{\partial{U}}{\partial{y}},-\frac{\partial{U}}{\partial{z}})
\end{array}
$$

一方、保存力fcによりなされる仕事をWcとすると、

$$
\begin{array}{}
W_c=\int_{P_1}^{P_2}f_c\cdot{}dr\\
=\int_{P_1}^{P_2}(f_xdx+f_ydy+f_zdz)
\end{array}
$$

上の二つの式を組み合わせる。

$$
\begin{array}{}
W_c=\int_{P_1}^{P_2}(-\frac{\partial{U}}{\partial{x}}dx,-\frac{\partial{U}}{\partial{y}}dy,-\frac{\partial{U}}{\partial{z}}dz)
\end{array}
$$

これは$${-\int_{P_1}^{P_2}dU}$$となりポテンシャルUの全微分の積分となる。
これを整理して$${ W_c=-U_2+U_1}$$となる。
つまり、保存力のみでの仕事は、最後のポテンシャルと、最初のポテンシャルの差によって決まるため、その経路は関係ないということが言える。
これが保存力の意味。

非保存力による仕事がかかる場合

非保存力がかかる場合にはどうなるであろうか。
非保存力による仕事を$${\~W}$$とする。また、運動エネルギーをKとすると。
$${K_2-K_1=U_1-U_2+\~{W}}$$となり、
$${K_1+U_1+\~{W}=K_2+U_2}$$となる。
非保存力がゼロである場合には、全エネルギーは保存されるが、それだけではなく、非保存力が運動の方向と垂直方向にかかる場合には、これも全エネルギーは保存される。
なぜなら、$${W_c=\int_{P_1}^{P_2}\~{f}\cdot{dr}=0}$$と書けるからだ。

自分で書いてて思いましたが、U1とU2がどちらを最初に書くか、どちらにーが付くか、これをちゃんと理解しないと、実際の問題を解くときにあいまいなまま解いてミスをするというか、ロジカルじゃないので、これは後々の宿題ですね、ポテンシャルＵに関していえば、Ｕが減少る方向→力の向きf>0という解釈なのでしょうね。
ほかにも、円運動をする質点には、質点から見れば遠心力がかかりますが、そとから見ると向心力として見えるので、力の＋、ーが逆になったりすることも、物体のふるまいをどの方向から見るかが大事なのですね。

数式のTEX表現もかなり向上してきたので、特に難しいと感じた分野だったり、感動したところはこのようにまとめていきたいと思います。