Diophantine equation 6

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(22/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${6}$$
$${(6.1)}$$  $${x^2+y^2=z^2+w^3}$$
$${(6.2)}$$  $${x^2+y^6=z^2+w^3}$$
$${(6.3)}$$  $${x^2+y^6=z^2+w^{3p}}$$
$${(6.4)}$$  $${x^2+y^{6p}=z^2+w^{3p}}$$
の整数解を求める。
$${(6.5)}$$  $${x^{34}+y^{18}=z^2+w^9}$$  (おまけ)
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$${case(6.1)}$$  $${(x^2+y^2=z^2+w^3)}$$

まず、次の恒等式を使う。
$${a^2+b^2=(a-b)^2+2ab}$$
$${w^3=2ab}$$になるので、
$${a=2^2m^3 , b=n^3}$$とおく。
すると、$${w=2mn}$$となるので、

$${(x,y,z,w)=(2^2m^3,n^3,2^2m^3-n^3,2mn)}$$
$${(m,n)=(2,1)}$$→$${(x,y,z,w)=(32,1,31,4)}$$
つまり$${32^2+1^2=31^2+4^3}$$である。
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$${case(6.2)}$$  $${(x^2+y^6=z^2+w^3)}$$
因みに$${(6.1)}$$ の解$${y=n^3}$$なので、
$${x^2+y^6=z^2+w^3}$$の解も求まっている。

$${(x,y,z,w)=(2^2m^3,n,2^2m^3-n^3,2mn)}$$
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$${case(6.3)}$$  $${(x^2+y^6=z^2+w^{3p})}$$
$${(6.1)}$$ の解$${w=2mn}$$がp乗数になる様にすれば、
$${x^2+y^6=z^2+w^{3p}}$$の解が求まる。
$${m=2^{p-1}s^p , n=t^p}$$とおく。
すると、$${w=2mn=(2st)^p}$$となるので、

$${(x,y,z,w)=\\(2^{3p-1}s^{3p},t^p,2^{3p-1}s^{3p}-t^{3p},2st)}$$
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$${case(6.4)}$$  $${(x^2+y^{6p}=z^2+w^{3p})}$$
更に、$${(6.3)}$$の解$${y=t^p}$$なので、
$${x^2+y^{6p}=z^2+w^{3p}}$$の解が求まっている。

$${(x,y,z,w)=\\(2^{3p-1}s^{3p},t,2^{3p-1}s^{3p}-t^{3p},2st)}$$

$${(p,s,t)=(3,2,3)}$$→
$${(x,y,z,w)=(131072,3,111389,12)}$$
$${131072^2+3^{18}=111389^2+12^9}$$
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$${case(6.5)}$$  $${(x^{34}+y^{18}=z^2+w^9)}$$
因みに$${(6.4)}$$の解$${131072^2=2^{34}}$$である。
$${2^{34}+3^{18}=111389^2+12^9}$$である。
最初から$${x^{34}+y^{18}=z^2+w^9}$$を解けと言われると困ると思う。
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