Taxicab Number 1

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(6/2/2024)}$$
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タクシー数$${Ta(n)}$$
キャブタクシー数$${Cabtaxi(n)}$$
キューブフリータクシー数$${CubefreeTa(n)}$$
一般化タクシー数$${Taxicab(k, j, n)}$$
一般化キャブタクシー数$${Cabtaxi(k,j,n)}$$
プライムタクシー数(仮称) $${PTa(n)}$$
一般化プライムタクシー数(仮称) $${PTa(k, j, n)}$$
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$${n}$$番目のタクシー数
$${(taxicab~number)}$$
$${(Ta(n)}$$もしくは$${Taxicab(n)}$$と表記される$${)}$$
とは、$${2}$$つの自然数の立方数の和として$${n}$$通りに表される最小の正の整数と定義される。
$${1954}$$年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトが全ての正の整数$${n}$$に対し、$${Ta(n)}$$が存在することを示した。
その証明を利用すれば「$${2}$$つの立方数の和として$${n}$$通りに表される正の整数」を発見できる。
ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、$${Ta(n)}$$であるとは限らない。
現在までに$${6}$$つのタクシー数が知られている。
$${(}$$オンライン整数列大辞典の$${A011541}$$参照$${)}$$
$${Ta(1) =2=1^3+1^3}$$
$${\begin{aligned}Ta(2) =1729& = 1^3 + 12^3 \\& = 9^3 + 10^3\end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}Ta(3) =87539319&=167^3 + 436^3 \\& = 228^3 + 423^3\\&=255^3+414^3\end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}Ta(4) &=2421^3+19083^3\\&=5436^3 + 18948^3\\&=10200^3+18072^3\\&=13322^3+16630^3\end{aligned}}$$
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$${n}$$番目のキャブタクシー数
$${(cabtaxi~number)}$$
$${(Cabtaxi(n)と表記される)}$$とは、$${2}$$つの整数の立方数の和として$${n}$$通りに表される最小の正の整数と定義される。ここでの立方数は全ての整数（正の整数、$${0}$$、負の整数）を取りうる。
立方数が正の整数のみに限定されればタクシー数になる。全ての$${n}$$に対してキャブタクシー数が存在する$${(}$$タクシー数は全ての$${n}$$に対して存在することが証明されているため$${)}$$。
現在は$${10}$$個のキャブタクシー数が知られている。
$${(}$$オンライン整数列大辞典の$${A047696}$$を参照$${)}$$
$${Cabtaxi(1) =1=1^3+0^3}$$
$${\begin{aligned}Cabtaxi(2) =91& = 3^3 + 4^3 \\& = 6^3 - 5^3\end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}Cabtaxi(3) =728&=6^3 + 8^3 \\& = 9^3 -1^3\\&=12^3-11^3\end{aligned}}$$
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キューブフリータクシー数
$${(cubefree~taxicab~number)}$$
$${(CubefreeTa(n)}$$と表記する事にする$${)}$$
より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数が$${cubefree}$$である、つまり$${1^3}$$以外の立方数で割り切れない場合である。
$${cubefree}$$なタクシー数$${T}$$が$${T = x^3+y^3}$$と書かれるとき、全ての組$${(x, y)}$$に対して$${x, y}$$は互いに素である。
先述したタクシー数の中では、$${Ta(1)}$$と$${Ta(2)}$$だけが$${cubefree}$$なタクシー数である。
$${3}$$通りに表される最小の$${cubefree}$$なタクシー数は、$${1981}$$年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された$${(}$$未発表$${)}$$。
それは以下の通りである。
$${\begin{aligned}CubefreeTa(3) &=15170835645\\&= 517^3 + 2468^3 \\& = 709^3 + 2456^3\\&= 1733^3 + 2152^3\end{aligned}}$$

$${4}$$通りに表される最小の$${cubefree}$$なタクシー数は、$${2003}$$年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。
$${\begin{aligned}CubefreeTa(4) &= 1801049058342701083\\& = 1216500^3 + 92227^3 \\&= 1216102^3 + 136635^3 \\&= 1207602^3 + 341995^3 \\&= 1165884^3 + 600259^3 \end{aligned}}$$
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一般化タクシー数
$${(generalized~taxicab~number)}$$
$${Taxicab(k, j, n)}$$とは$${k}$$乗数の和$${j}$$個で$${n}$$通りに表される最小の正の整数と定義される。
$${k = 3 }$$かつ$${ j = 2}$$である場合は$${n}$$番目のタクシー数$${Ta(n)}$$となる。例えば
$${Taxicab(1,2,2)=4=1+3=2+2}$$
$${\begin{aligned}Taxicab(1,2,3)=6&=1+5=2+4\\&=3+3\end{aligned}}$$
$${Taxicab(2,2,2)=50=1^2+7^2=5^2+5^2}$$
$${\begin{aligned}Taxicab(2,2,3)=325&=1^2+18^2\\&=6^2+17^2\\&=10^2+15^2 \end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}Taxicab(3,2,2)&= Ta(2)\\&=1729\\&=1^3+12^3=9^3+10^3\end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}Taxicab(4,2,2)&=635318657\\&=59^4+158^4\\&=133^4+134^4\end{aligned}}$$
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任意の整数$${k \geqq 5}$$に対して、$${Taxicab(k, 2, 2)}$$は知られていない。すなわち、$${2}$$個の$${k(\geqq 5)}$$乗数の和として$${2}$$通りに表される正の整数は今のところ知られていない。$${2}$$つの$${4}$$乗数の和として$${3}$$通りにあらわされる数が存在するかも知られていない。
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$${Zajta}$$は$${4}$$乗数の差として$${3}$$通りの方法で表される例を発見した。
一般化キャブタクシー数とでも名付けますか。
$${\begin{aligned}Cabtaxi(4,2,2)&=401168^4-17228^4\\&=415137^4-248289^4\\&=421296^4-273588^4\end{aligned}}$$
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プライムタクシー数(仮称)
$${(prime~taxicab~number)}$$
$${2}$$個の素数の立方数の和として$${n}$$通りに表される最小の正の整数と定義する。
これを仮にプライムタクシー数と呼ぶ事にする。
$${PTa(n)}$$と表記する。
フェルマーの最終定理により$${Ta(n)}$$、$${PTa(n)}$$は$${3}$$乗数にならない。
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一般化プライムタクシー数(仮称)
$${(generalized~prime~taxicab~number)}$$
$${PTa(k, j, n)}$$とは素数の$${k}$$乗数の和$${j}$$個で$${n}$$通りに表される最小の正の整数と定義する。

$${\begin{aligned}PTa(3,2,2)&=61^3+1823^3\\&=1049^3+1699\end{aligned}}$$
$${PTa(3,2,n)}$$で$${n\geqq3}$$の時、
$${x^3+y^3=z^3+w^3}$$とした時、
$${0< z< w < 100,000}$$に解なし。

$${PTa(3,3,2)}$$が$${3}$$乗数になる解は次の通り。
$${x^3+y^3+z^3=w^3}$$とした時
$${(w < 200,000)}$$
$${\begin{aligned}PTa(3,3,2) &=28477^3\\&=27361^3+11071^3+10781^3\\&=26183^3+17203^3+3739^3 \end{aligned}}$$
$${(Takao \<space> Nakamura, 2nd/Feb./2024)}$$

他にもどうぞ。
$${\begin{aligned}33199^3&=30941^3+19081^3+2833^3\\&=26647^3+24197^3+15187^3 \end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}49069^3&=40343^3+37441^3+661^3\\&=38119^3+37243^3+22307^3 \end{aligned}}$$
$${(Takao \<space> Nakamura, 2nd/Feb./2024)}$$

$${PTa(3,3,n)}$$で$${n\geqq3}$$の解、
$${w < 200,000}$$の範囲に解なし。
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$${REFERENCES}$$
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$${J. H. Silverman, \\Taxicabs~and~Sums~of ~Two~Cubes, \\Amer. Math. Monthly, 100\\(1993), 331-340.}$$

$${Zajta, Aurel~J, \\Solutions~of~the~Diophantine~equation\\A^4+B^4=C^4+D^4\\Math. Comp.(1983), 635-659}$$
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