Diophantine equation 18

-------------------------------------------------
$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(3/2/2024)}$$
-------------------------------------------------
$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${18}$$
$${(18.1)}$$  $${x^2+y^2+z^2=u^2+v^2+w^2}$$
$${(18.2)}$$  $${x^4+y^4+z^4=u^4+v^4+w^4}$$
-------------------------------------------------
$${case(18.1)}$$  $${(x^2+y^2+z^2=u^2+v^2+w^2)}$$

次の恒等式を使う。
$${(a+b+c)^2+(b+c+d)^2+(a-d)^2=(c+d+a)^2+(d+a+b)^2+(b-c)^2-6ad+6bc}$$
ここで$${-6ad+6bc=0}$$のとき解になる。
つまり$${ad=bc}$$になる。

$${m=ad=bc}$$として、
$${m=65}$$の時$${(ad=bc)=(1・65=5・13)}$$
$${(x,y,z,u,v,w)=(19,83,64,79,71,8)}$$
$${19^2+83^2+64^2=79^2+71^2+8^2}$$
-------------------------------------------------
$${case(18.2)}$$  $${(x^4+y^4+z^4=u^4+v^4+w^4)}$$
次の恒等式を使う。
$${(a+b+c)^4+(b+c+d)^4+(a-d)^4=\\(c+d+a)^4+(d+a+b)^4+(b-c)^2-\\6(ad-bc)(2a^2+2b^2+2a^2+2d^2+2ab+2ac+ad+2bd+2cd+bc)}$$
ここで$${-6ad+6bc=0}$$のとき解になる。
つまり$${ad=bc}$$になる。

$${m=ad=bc}$$として、
$${m=65}$$の時$${(ad=bc)=(1・65=5・13)}$$
$${(x,y,z,u,v,w)=(19,83,64,79,71,8)}$$
$${19^4+83^4+64^4=79^4+71^4+8^4}$$
-------------------------------------------------
上記は
$${(Ramanujan 1987, Hirschhorn 1998)}$$
によって示された内容です。
-------------------------------------------------