Diophantine equation 8

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(23/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${8}$$
$${(8.1)}$$  $${x^2+y^2+z^2=w^2}$$
$${(8.2)}$$  $${x^2+y^2+z^2=w^4}$$
$${(8.3)}$$  $${x^2+y^4+z^2=w^2}$$
$${(8.4)}$$  $${x^2+y^{4k}+z^2=w^2}$$  $${(k≧2)}$$
$${(8.5)}$$  $${x^2+y^4+z^2=w^4}$$
$${(8.6)}$$  $${x^2+y^4+z^4=w^2}$$
の整数解を求める。
$${(8.7)}$$  $${x^{14}+y^8+z^4=w^2}$$(おまけ)
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$${case(8.1)}$$ $${(x^2+y^2+z^2=w^2)}$$

まず、次の恒等式を使う。
$${a^2+b^2+2ab=(a+b)^2}$$
$${z^2=2ab}$$になる様に、
$${a=2m^2 , b=n^2}$$とおく。
すると、$${z=2mn}$$となるので、

$${(x,y,z,w)=(2m^2,n^2,2mn,2m^2+n^2)}$$
$${(m,n)=(2,3)}$$→$${(x,y,z,w)=(8,9,12,17)}$$
つまり$${8^2+9^2+12^2=17^2}$$である。
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$${case(8.2)}$$ $${(x^2+y^2+z^2=w^4)}$$

$${case(8.1)}$$の解の
$${w=2m^2+n^2}$$の$${w→w^2}$$に置き換える。
つまり、$${2m^2+n^2=w^2}$$を、
$${case(2.1)}$$で求めた解を使うと、
$${(m,n,w)=(2s,s^2-2,s^2+2)}$$
となる。これを、元の解に代入すると、
$${x^2+y^2+z^2=w^4}$$の解が求まり、

$${(x,y,z,w)=\\(2^3s^2,(s^2-2)^2,2^2s^3-2^3s,s^2+2)}$$
$${(s=3)}$$→$${(x,y,z,w)=(72,49,84,11)}$$
つまり$${72^2+49^2+84^2=11^4}$$である。
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$${case(8.3)}$$ $${(x^2+y^4+z^2=w^2)}$$

$${case(8.1)}$$ の解の$${y=n^2}$$に注目すると、
$${x^2+y^4+z^2=w^2}$$
の解になっている事がわかる。

$${(x,y,z,w)=(2m^2,n,2mn,2m^2+n^2)}$$
$${(m,n)=(2,3)}$$→$${(x,y,z,w)=(8,3,12,17)}$$
つまり$${8^2+3^4+12^2=17^2}$$である。
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$${case(8.4)}$$ $${(x^2+y^{4k}+z^2=w^2   ,  k≧2)}$$
$${case(8.3)}$$の解$${y=n}$$であるから、
$${x^2+y^{4k}+z^2=w^2}$$
の解は、$${y=n^k}$$とすると、

$${(x,y,z,w)=(2m^2,n,2mn^k,2m^2+n^{2k})}$$
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$${case(8.5)}$$ $${(x^2+y^4+z^2=w^4)}$$
$${case(8.5)}$$ の解の
$${w=2m^2+n^2}$$の$${w→w^2}$$に置き換える。
つまり、$${2m^2+n^2=w^2}$$の解を、
$${case(2.1)}$$で求めた解を使うと、
$${(m,n,w)=(2s,s^2-2,s^2+2)}$$
となる。これを、元の解に代入すると、

$${(x,y,z,w)=\\(2^3s^2,s^2-2,2^2s^3-2^3s,s^2+2)}$$
$${(s=3)}$$→$${(x,y,z,w)=(72,7,84,11)}$$
つまり$${72^2+7^4+84^2=11^4}$$である。
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$${case(8.6)}$$ $${(x^2+y^4+z^4=w^2)}$$
$${case(8.3)}$$ の解の
$${z=2mn}$$の$${z→z^2}$$に置き換える。

$${(m,n,z)=(2s^2,t^2,2st)}$$
これを、元の解に代入すると、
$${(x,y,z,w)=(2^3s^4,t^2,2st,2^3s^4+t^4)}$$

$${(s,t)=(2,3)}$$→
$${(x,y,z,w)=(128,9,12,209)}$$となる。
つまり$${128^2+9^4+12^4=209^2}$$である。
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$${case(8.7)}$$ $${(x^{14}+y^8+z^4=w^2)}$$
因みに$${case(8.6)}$$の解は
$${2^{14}+3^8+12^4=209^2}$$と同じである。
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