Diophantine equation 11

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(27/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${11}$$
$${(11.1)}$$  $${x^2+y^2=z^3}$$
$${(11.2)}$$  $${x^k+y^k=z^{k+1}}$$  $${(k≧3)}$$
の整数解を求める。
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$${case(11.1)}$$  $${(x^2+y^2=z^3)}$$

次の恒等式を使う。
$${a^2+a^2(a-1)=a^3}$$
ここで$${(a-1)}$$が平方数になる様にする。
$${a-1=m^2}$$とする。
$${a=m^2+1}$$を元の恒等式に代入すると、
$${(m^2+1)^2+(m^2+1)^2m^2=(m^2+1)^3→}$$
$${(m^2+1)^2+(m(m^2+1))^2=(m^2+1)^3}$$
つまり、

$${(x,y,z)=(m^2+1, m(m^2+1), m^2+1)}$$
$${(m=1)}$$→$${(x,y,z)=(2,2,2)}$$
$${(m=2)}$$→$${(x,y,z)=(5,10,5)}$$
$${(m=3)}$$→$${(x,y,z)=(10,30,10)}$$
$${(m=4)}$$→$${(x,y,z)=(17,68,17)}$$
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$${case(11.2)}$$  $${(x^k+y^k=z^{k+1})}$$  $${(k≧3)}$$

次の恒等式を使う。
$${a^k+a^k(a-1)=a^{k+1}}$$
ここで$${(a-1)}$$がk乗数になる様にする。
$${a-1=m^k}$$とする。
$${a=m^k+1}$$を元の恒等式に代入すると、
$${(m^k+1)^k+(m^k+1)^km^k=(m^k+1)^{k+1}}$$
$${(m^k+1)^k+(m(m^k+1))^k=(m^k+1)^k}$$
つまり、

$${(x,y,z)=(m^k+1, m(m^k+1), m^k+1)}$$
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