Diophantine equation 7

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(22/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${7}$$
$${(7.1)}$$  $${x^2+y^2=z^2+w^p}$$
$${(7.2)}$$  $${x^2+y^{2p}=z^2+w^p}$$
の整数解を求める。
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$${case(7.1)}$$  $${(x^2+y^2=z^2+w^p)}$$

まず、次の恒等式を使う。
$${a^2+b^2=(a-b)^2+2ab}$$
$${w^p=2ab}$$になるので、
$${a=2^{p-1}m^p , b=n^p}$$とおく。
すると、$${w=2mn}$$となるので、

$${(x,y,z,w)=\\(2^{p-1}m^p,n^p,2^{p-1}m^p-n^p,2mn)}$$
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$${case(7.2)}$$  $${(x^2+y^{2p}=z^2+w^p)}$$
$${case(7.1)}$$の解の$${y=n^p}$$に注目すると、

$${x^2+y^{2p}=z^2+w^p}$$
の解になっている。
$${(x,y,z,w)=\\(2^{p-1}m^p,n,2^{p-1}m^p-n^p,2mn)}$$

$${(p,m,n)=(5,2,3)}$$→
$${(x,y,z,w)=(512,3,269,12)}$$
つまり$${512^2+3^{10}=269^2+12^5}$$である。
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