Diophantine equation 12

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(28/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${12}$$
$${(12.1)}$$  $${w^2+x^2+y^2+z^2=k^2}$$
$${(12.2)}$$  $${w^3+x^3+y^3+z^3=k^3}$$
の整数解を求める。
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$${case(12.1)}$$  $${(w^2+x^2+y^2+z^2=k^2)}$$

次の恒等式を使う。
$${a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\\=(a+b+c)^2}$$
ここで、$${(ab+bc+ca)=2t^2}$$が成り立てば、
$${(12.1)}$$が求まる。
$${(ab+bc+ca)=2t^2}$$で$${a+b\neq0}$$
$${c=\dfrac{2t^2-ab}{a+b}}$$これを代入する。
$${a^2+b^2+ \left(\dfrac{2t^2-ab}{a+b}\right)^2+(2t)^2\\=\left(a+b+\dfrac{2t^2-ab}{a+b}\right)^2}$$
両辺に$${(a+b)^2}$$を掛けると、
$${a^2(a+b)^2+b^2(a+b)^2+(2t^2-ab)^2+\\(2t)^2(a+b)^2=(a^2+ab+b^2+2t^2)^2}$$
$${(a,b,t)=(l,m,n)}$$に置き換えると、

$${w=l(l+m)\\x=m(l+m)\\y=2n^2-lm\\z=2n(l+m)\\k= l^2+lm+m^2+2n^2}$$

$${(l,m,n)=(1,2,3)→\\(w,x,y,z,k)=(3,6,16,18,25)}$$
すなわち、$${3^2+6^2+16^2+18^2=25^2}$$

$${(l,m,n)=(2,3,3)→\\(w,x,y,z,k)=(10,15,12, 30,37)}$$
すなわち、$${10^2+15^2+12^2+30^2=37^2}$$
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$${case(12.2)}$$  $${(w^3+x^3+y^3+z^3=k^3)}$$

次の恒等式を使う。
$${a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\\=(a+b+c)^3}$$
ここで、$${3(a+b)(b+c)(c+a)}$$が立方数に
なる様に2つの場合に分けて考える。
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【解法$${1}$$】
$${a+b=n^3,b+c=3l^3,c+a=3m^3}$$と置く$${3(a+b)(b+c)(c+a)=(3lmn)^3}$$となる。

$${2a=(a+b)+(c+a)-(b+c)\\         =n^3+3m^3-3l^3}$$
$${2b=(a+b)-(c+a)+(b+c)\\         =n^3-3m^3+3l^3}$$
$${2c=-(a+b)+(c+a)+(b+c)\\         =-n^3+3m^3+3l^3}$$

それぞれ両辺を2で割り$${(a,b,c)}$$を求め、
元の恒等式に代入し、両辺に$${2^3=8}$$を掛けると、
$${(n^3+3m^3-3l^3)^3+(n^3-3m^3+3l^3)^3\\+(-n^3+3m^3+3l^3)^3+(6lmn)^3\\=(3l^3+3m^3+n^3)^3}$$となる。

$${w=n^3+3m^3-3l^3\\x=n^3-3m^3+3l^3\\y= -n^3+3m^3+3l^3\\z=6lmn\\k= 3l^3+3m^3+n^3}$$

$${(l,m,n)=(1,1,2)→\\(w,x,y,z,k)=(1,1,47,24,49)}$$
すなわち、$${1^3+1^3+47^3+24^3=49^3}$$

$${(l,m,n)=(3,5,7)→\\(w,x,y,z,k)=(637,49,113,630,799)}$$
すなわち、$${637^3+49^3+113^3+630^3=799^3}$$
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【解法$${2}$$】
$${a+b=n^3,b+c=9l^3,c+a=m^3}$$と置く$${3(a+b)(b+c)(c+a)=(3lmn)^3}$$となる。

$${2a=(a+b)+(c+a)-(b+c)\\         =n^3+m^3-9l^3}$$
$${2b=(a+b)-(c+a)+(b+c)\\         =n^3-m^3+9l^3}$$
$${2c=-(a+b)+(c+a)+(b+c)\\         =-n^3+m^3+9l^3}$$

それぞれ両辺を2で割り$${(a,b,c)}$$を求め、
元の恒等式に代入し、両辺に$${2^3=8}$$を掛けると、
$${(n^3+m^3-9l^3)^3+(n^3-m^3+9l^3)^3\\+(-n^3+m^3+9l^3)^3+(6lmn)^3\\=(9l^3+m^3+n^3)^3}$$となる。

$${w=n^3+m^3-9l^3\\x=n^3-m^3+9l^3\\y= -n^3+m^3+9l^3\\z=6lmn\\k= 9l^3+m^3+n^3}$$

$${(l,m,n)=(2,4,5)→\\(w,x,y,z,k)=(117,133,11,240,261)}$$
すなわち、$${117^3+133^3+11^3+240^3=261^3}$$
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