Diophantine equation 9

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(24/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${9}$$
$${(9.1)}$$  $${4x^4+y^4+z^4=w^4}$$
$${(9.2)}$$  $${x^4+2y^4+2z^4=w^4}$$
$${(9.3)}$$  $${x^4+y^4+2z^2=w^4}$$
$${(9.4)}$$  $${x^6+y^6+3z^2=w^6}$$
の整数解を求める。
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$${case(9.1)}$$  $${(4x^4+y^4+z^4=w^4)}$$
$${case(8.5)}$$の解から始める。
$${(8.5)}$$  $${x^2+y^4+z^2=w^4}$$
$${(x,y,z,w)=\\(2^3s^2,s^2-2,2^2s^3-2^3s,s^2+2)}$$

$${x^2+z^2}$$に注目する。
$${x^2+z^2=(8s^2)^2+(4s^3-8s)^2}$$
$${=64s^4+16s^6-64s^4+64s^2}$$
$${=16s^6+64s^2}$$
ここで$${s=2m^2}$$とおくと、
$${x^2+z^2=16s^6+64s^2=2^{10}m^{12}+2^8m^4\\=4(4m^3)^4+(4m)^4}$$
$${(x,z)=(4m^3,4m)}$$とし、
$${(y,w)}$$に$${s=2m^2}$$を代入すると$${(9.1)}$$ が求まる。
$${(x,y,z,w)=\\(4m^3,4m^4-2,4m,4m^4+2)}$$であるが、
公約数$${2}$$があるので全てを$${2}$$で割って、

$${(x,y,z,w)=(2m^3,2m^4-1,2m,2m^4+1)}$$
$${(m=2)→(x,y,z,w)=(16,31,4,33)}$$
つまり$${4(16)^4+31^4+4^4=33^4}$$である。
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$${case(9.2)}$$  $${(x^4+2y^4+2z^4=w^4)}$$

次の恒等式を使う。
$${a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2}$$
ここで$${a^2+b^2=c^2}$$となる$${(a,b,c)}$$を使う。
$${(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)}$$

$${2a^2b^2+b^4\\=2(m^2-n^2)^2(2mn)^2+(2mn)^4\\=2^3m^2n^2(m^4-2m^2n^2+n^4)+2^4m^4n^4\\=2^3m^6n^2+2^3m^2n^6}$$

ここで、$${(m,n)=(2s^2,t^2)}$$とすると、
$${2^3m^6n^2+2^3m^2n^6=2^9s^{12}t^4+2^5s^4t^{12}\\=2(2^2s^3t)^4+2(2st^3)^4}$$

$${(x,y,z,w)=(4s^4-t^4, 2^2s^3t, 2st^3, 4s^4+t^4)}$$
$${(s,t)=(2,1)→\\(x,y,z,w)=(63, 32, 4, 65)}$$
つまり$${63^4+2(32)^4+2(4)^4=65^4}$$である。
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$${case(9.3)}$$  $${(x^4+y^4+2z^2=w^4)}$$
次の恒等式を使う。
$${a^4+b^4+2a^2b^2=(a^2+b^2)^2}$$
ここで$${a^2+b^2=c^2}$$となる$${(a,b,c)}$$を使う。

$${a^4+b^4+2a^2b^2=(a^2+b^2)^2\\→ a^4+b^4+2(ab)^2=(c^2)^2 =c^4}$$
$${(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)→\\ (x,y,z,w)=(a,b,ab,c)=\\(m^2-n^2,2mn, 2m^3n-2mn^3, m^2+n^2)}$$
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$${case(9.4)}$$  $${(x^6+y^6+3z^2=w^6)}$$
次の恒等式を使う。
$${a^6+b^6+3a^2b^2(a^2+b^2)=(a^2+b^2)^3}$$
ここで$${a^2+b^2=c^2}$$となる$${(a,b,c)}$$を使う。

$${a^6+b^6+3a^2b^2(a^2+b^2)=(a^2+b^2)^3\\→a^6+b^6+3a^2b^2(c^2)=(c^2)^3\\→ a^6+b^6+3(abc)^2=c^6}$$
$${(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)→\\ (x,y,z,w)=(a,b,abc,c)=\\(m^2-n^2,2mn, 2m^5n-2mn^5, m^2+n^2)}$$
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$${a^2+b^2=c^2}$$→
$${a^4+b^4+2(ab)^2=c^4}$$
$${a^6+b^6+3(abc)^2=c^6}$$
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