Diophantine equation 3

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(21/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${3}$$
$${case(3)}$$  $${x^2+y^2=z^{2^k}}$$    $${k=2,k≧3}$$
の整数解を求める。
$${case(3.1)}$$  $${x^2+y^2=z^4}$$  $${(k=2)}$$
$${case(3.2)}$$  $${x^2+y^2=z^8}$$  $${(k=3)}$$
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$${case(3.1)}$$  $${(k=2}$$→$${x^2+y^2=z^4)}$$
まず、$${case(1.1)}$$  $${x^2+y^2=z^2}$$の解を使う。

$${(x,y,z)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)}$$
ここで$${z→z^2}$$と置き直すと、
$${z^2=m^2+n^2}$$となり、
新たに次を満たす$${s,t}$$が存在する。
$${(m,n,z)=(s^2-t^2,2st,s^2+t^2)}$$
この$${s,t}$$を元の$${m,n}$$に代入すると、
$${x=m^2-n^2=(s^2-t^2)^2-(2st)^2\\y=2mn=2(s^2-t^2)(2st)\\z=s^2+t^2}$$
$${(x,y,z)\\=(s^4-6s^2t^2+t^4,4s^3t-4st^3,s^2+t^2)}$$
$${(s,t)=(4,1)}$$→$${(x,y,z)=(161,240,17)}$$
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$${case(3.2)}$$  $${(k=3}$$→$${x^2+y^2=z^8)}$$
$${case(3.1)}$$ の$${(s,t)}$$で求めた解で
$${z→z^2}$$に置き直すと求まる。
$${z^2=s^2+t^2}$$となり、新たに$${a,b}$$を用いて、
$${(s,t,z)=(a^2-b^2,2ab,a^2+b^2)}$$
となり、$${case(3.1)}$$ の$${(x,y)}$$に代入して計算すると、
$${x=|a^8-28a^6b^2+70a^4b^4-28a^2b^6+b^8|\\y=|8a^7b-56a^5b^3+56a^3b^5-8ab^7|\\z=a^2+b^2}$$

$${x^2+y^2=z^8}$$の解は、
$${(a,b)=(2,1)}$$→$${(x,y,z)=(527,336,5)}$$
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同様の方法を続けると
$${x^2+y^2=z^{2^k}}$$
$${k≧4}$$が求まる。
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