Diophantine equation 1

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(21/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${1}$$
$${case(1)}$$  $${x^2+y^p=z^2}$$    $${p=2,3,p≧4}$$
の整数解を求める。
$${case(1.1)}$$  $${x^2+y^2=z^2}$$  $${(p=2)}$$
$${case(1.2)}$$  $${x^2+y^3=z^2}$$  $${(p=3)}$$
$${case(1.3)}$$  $${x^2+y^p=z^2}$$  $${(p≧4)}$$
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$${case(1.1)}$$  $${(p=2}$$→$${x^2+y^2=z^2)}$$
皆さんご存知の$${Pythagorean}$$ $${triple}$$である。

まず、次の恒等式を使う。
$${(a-b)^2+4ab=(a+b)^2}$$
$${4ab}$$が平方数になる様に
$${a=m^2 , b=n^2}$$とおく。
すると、$${4ab=(2mn)^2}$$となるので、
$${x=a-b , y=2mn , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)}$$
$${(m,n)=(2,1)}$$→$${(x,y,z)=(3,4,5)}$$
$${(m,n)=(3,2)}$$→$${(x,y,z)=(5,12,13)}$$
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$${case(1.2)}$$  $${(p=3}$$→$${x^2+y^3=z^2)}$$
$${case(1.1)}$$の$${4ab}$$が立方数になる様に、
$${a=2m^3 , b=n^3}$$とおく。
すると、$${4ab=(2mn)^3}$$となるので、
$${x=a-b , y=2mn , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)=(2m^3-n^3,2mn,2m^3+n^3)}$$
$${(m,n)=(1,1)}$$→$${(x,y,z)=(1,2,3)}$$
$${(m,n)=(2,1)}$$→$${(x,y,z)=(15,4,17)}$$
$${(m,n)=(3,1)}$$→$${(x,y,z)=(53,6,55)}$$
$${(m,n)=(4,1)}$$→$${(x,y,z)=(127,8,129)}$$
$${(m,n)=(4,3)}$$→$${(x,y,z)=(101,24,155)}$$

次に、$${a=m^3 , b=2n^3}$$とおく。
同様に、$${4ab=(2mn)^3}$$となるので、
$${x=a-b , y=2mn , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)=(m^3-2n^3,2mn,m^3+2n^3)}$$
$${(m,n)=(3,1)}$$→$${(x,y,z)=(25,6,29)}$$
$${(m,n)=(3,2)}$$→$${(x,y,z)=(11,12,43)}$$
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$${case(1.3)}$$  $${(p≧4}$$→$${x^2+y^p=z^2)}$$
$${case(1.1)}$$の$${4ab}$$が$${p≧4}$$の累乗数になる様に、
$${a=2^{p-2}m^p , b=n^p}$$とおく。
すると、$${4ab=(2mn)^p}$$となるので、
$${x=a-b , y=2mn , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)\\=(2^{p-2}m^p-n^p,2mn,2^{p-2}m^p+n^p)}$$
$${(p,m,n)=(4,2,1)}$$→$${(x,y,z)=(63,4,65)}$$

同様に$${a=m^p , b= 2^{p-2} n^p}$$とおく。
$${4ab=(2mn)^p}$$となるので、
$${x=a-b , y=2mn , z=a+b}$$とすると、

$${(x,y,z)\\=(m^p-2^{p-2}n^p,2mn,m^p+ 2^{p-2}n^p)}$$
$${(p,m,n)=(4,3,1)}$$→$${(x,y,z)=(77,6,85)}$$
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この様に$${(p,m,n)}$$の値を決めれば、
$${(x,y,z)}$$の値が求まる。
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