Diophantine equation 16

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(1/2/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(1/2/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${16}$$
$${(16.1)}$$  $${x^3+y^3=z^3+w^3}$$
の整数解を求める。
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$${case(16.1)}$$  $${(x^3+y^3=z^3+w^3)}$$

$${case(13.2)}$$  $${(x^3+y^3+z^3=w^3)}$$
の時と同じ様に方程式を解きます。
(恒等式から辿り着けなかった為…)
$${x=at+c  ,  y=bt-d  \\z=at+d  ,  w=bt+c}$$
と置きます。すると、

$${3t^2(a^2c-a^2d-b^2c-b^2d)+\\3t(-a+b)(c+d)(-c+d)-2d^3=0}$$

となります。ここで、$${t^2}$$の項が$${0}$$になる為には、
$${(a^2c-a^2d-b^2c-b^2d)=0\\→c(a^2-b^2)=d(a^2+b^2)}$$

$${c=a^2+b^2   ,   d= a^2-b^2}$$と置くと、
$${t^2}$$の項が$${0}$$になる。この$${c,d}$$を代入すると。

$${3t(-a+b)(c+d)(-c+d)-2d^3=0\\→3t(-a+b)(2a^2)(-2b^2)=2(a^2-b^2)^3\\→12a^2b^2(a-b)t=2(a^2-b^2)^3}$$

$${t}$$について解くと、

$${t=\dfrac{a^5+a^4b-2a^3b^2-2a^2b^3+ab^4+b^5}{6a^2b^2}}$$

この$${t}$$と$${c=a^2+b^2   ,   d= a^2-b^2}$$を
$${x,y,z,w}$$に代入し、$${6a^2b^2}$$を掛けたものを
新たな$${x,y,z,w}$$とすると解になる。

$${(x,y,z,w)=\\ (a^6+a^5b+4a^4b^2-2a^3b^3+7a^2b^4+ab^5,\\a^5b-5a^4b^2-2a^3b^3+4a^2b^4+ab^5+b^6,\\a^6+a^5b+4a^4b^2-2a^3b^3-5a^2b^4+ab^5,\\a^5b+7a^4b^2-2a^3b^3+4a^2b^4+ab^5+b^6)}$$

$${(a,b)=(6,1)→\\(x,y,z,w)=(59442,1015,59010,16567)}$$
$${59442^3+1015^3=59010^3+16567^3}$$
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【追記$${(1/2/2024)}$$】
この方程式はオイラー(Euler)、ラマヌジャン(Ramanujan)らが一般解を与えています。
別の機会に投稿したいと思います。
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