Diophantine equation 4

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(21/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${4}$$
$${case(4)}$$  $${x^2+y^2=2z^{2^k}}$$    $${k=1,2,k≧3}$$
の整数解を求める。
$${case(4.1)}$$  $${x^2+y^2=2z^2}$$  $${(k=1)}$$
$${case(4.2)}$$  $${x^2+y^2=2z^4}$$  $${(k=2)}$$
$${case(4.3)}$$  $${x^2+y^2=2z^{2^k}}$$  $${(k≧3)}$$
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$${case(4.1)}$$  $${(k=1}$$→$${x^2+y^2=2z^2)}$$
まず、次の恒等式を使う。
$${(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)}$$
右辺が$${z^2=a^2+b^2}$$になるので、
$${case(1.1)}$$の解を使う。
$${(a,b,z)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)}$$
$${x=a+b , y=a-b}$$に代入すると、

$${x=m^2+2mn-n^2\\y=m^2-2mn-n^2\\z=m^2+n^2}$$
$${(m,n)=(4,1)}$$→$${(x,y,z)=(23,7,17)}$$
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$${case(4.2)}$$  $${(k=2}$$→$${x^2+y^2=2z^4)}$$
$${case(4.1)}$$ の$${z→z^2}$$に置き換えると求まる。
$${z^2=m^2+n^2}$$となり、新たに$${s,t}$$を用いて、
$${(m,n,z)=(s^2-t^2,2st,s^2+t^2)}$$
これを$${case(4.1)}$$ の解に代入すると、

$${x=|s^4+4s^3t-6s^2t^2-4st^3+t^4|\\y=|s^4-4s^3t-6s^2t^2+4st^3+t^4|\\z=s^2+t^2}$$
$${(s,t)=(4,1)}$$→$${(x,y,z)=(401,79,17)}$$
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$${case(4.3)}$$ $${(k≧3}$$→$${x^2+y^2=2z^{2^k})}$$
$${case(4.1)}$$の$${z→z^2}$$に置き換えると求まる。
$${z^2=s^2+t^2}$$となり、新たに$${a,b}$$を用いて、
$${(s,t,z)=(a^2-b^2,2ab,a^2+b^2)}$$
$${case(4.1)}$$の解に代入すると求まる。
この方法の繰り返しで次々に求められる。
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