Diophantine equation 10

-------------------------------------------------
$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(25/1/2024)}$$
-------------------------------------------------
$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${10}$$
$${(10.1)}$$  $${x^3+y^3+3z^2=w^3}$$
$${(10.2)}$$  $${x^3+y^3+z^2=w^3}$$
$${(10.3)}$$  $${x^7+y^7+7z^2=w^7}$$
$${(10.4)}$$  $${x^{14}+y^{28}+7z^2=w^{14}}$$(おまけ)
$${(10.5)}$$  $${x^7+y^7+z^2=w^7}$$
$${(10.6)}$$  $${x^{14}+y^7+z^2=w^{14}}$$(おまけ)
$${(10.7)}$$  $${x^{14}+y^7+z^2=w^{56}}$$(おまけ)
の整数解を求める。
-------------------------------------------------
$${case(10.1)}$$  $${(x^3+y^3+3z^2=w^3)}$$

次の恒等式を使う。
$${a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3}$$
$${ab(a+b)}$$が平方数になる様に、
$${(a,b,a+b)=(m^2,n^2,m^2+n^2=k^2)}$$とする
$${ab(a+b)=(mnk)^2=z^2}$$となり、
$${case(1.1)}$$の解により、$${(s,t)}$$を用いて、
$${(m,n,k)=(s^2-t^2,2st,s^2+t^2)}$$となる。

$${(x,y,z,w)=(a,b,mnk,a+b)=\\(m^2,n^2,mnk,m^2+n^2)=}$$

$${x=(s^2-t^2)^2\\y=(2st)^2\\z=2st(s^4-t^4)\\w=(s^2+t^2)^2}$$

$${(s,t)=(2,1)→\\(x,y,z,w)=(9,16,60,25)}$$
つまり、$${9^3+16^3+3(60)^2=25^3}$$となる。
-------------------------------------------------
$${case(10.2)}$$  $${(x^3+y^3+z^2=w^3)}$$

$${case(10.1)}$$の恒等式で、
$${3ab(a+b)}$$が平方数になる様に、
$${(a,b,a+b)=(m^2,3n^2,m^2+3n^2=k^2)}$$
とする、$${3ab(a+b)=(3mnk)^2}$$
$${case(2.1)}$$から$${m^2+3n^2=k^2}$$は、
$${(s)}$$を用いて、
$${(m,n,k)=(s^2-3,2s,s^2+3)}$$となる。
$${(x,y,z,w)=(a,b,3mnk,a+b)=\\(m^2,3n^2,3mnk,k^2)=\\}$$

$${x=(s^2-3)^2\\y=3(2s)^2\\z=6s(s^4-9)\\w=(s^2+3)^2}$$

$${s=2→\\(x,y,z,w)=(1,48,84,49)}$$
つまり、$${1^3+48^3+84^2=49^3}$$となる。
-------------------------------------------------
$${case(10.3)}$$  $${(x^7+y^7+7z^2=w^7)}$$

次の恒等式を使う。
$${a^7+b^7+7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2\\=(a+b)^7}$$
$${ab(a+b)}$$が平方数になる様に、
$${(a,b,a+b)=(m^2,n^2,m^2+n^2=k^2)}$$とする。
$${ab(a+b)=(mnk)^2}$$となり、
$${case(1.1)}$$の解により、$${(s,t)}$$を用いて、
$${(m,n,k)=(s^2-t^2,2st,s^2+t^2)}$$となる。

$${(x,y,z,w)=\\(a,b,mnk(a^2+ab+b^2),a+b)=\\(m^2,n^2,\\mnk(m^4+m^2n^2+n^4),m^2+n^2)=}$$

$${x=(s^2-t^2)^2\\y=(2st)^2\\z=2st(s^4-t^4)(s^8+14s^4t^4+t^8)\\w=(s^2+t^2)^2}$$

$${(s,t)=(2,1)→\\(x,y,z,w)=(9,16,28860,25)}$$
つまり、$${9^7+16^7+7(28860)^2=25^7}$$となる。 -------------------------------------------------
$${case(10.4)}$$  因みに上記の解は
$${3^{14}+2^{28}+7(28860)^2=5^{14}}$$
-------------------------------------------------
$${case(10.5)}$$  $${(x^7+y^7+z^2=w^7)}$$

$${case(10.3)}$$の
$${7ab(a+b)}$$が平方数になる様に、
$${(a,b,a+b)=(m^2,7n^2,m^2+7n^2=k^2)}$$とする。
$${7ab(a+b)=(7mnk)^2}$$となり、
$${case(2.1)}$$の解により、$${(s)}$$を用いて、
$${(m,n,k)=(s^2-7,2s,s^2+7)}$$となる。

$${(x,y,z,w)=\\(a,b,7mnk(a^2+ab+b^2),a+b)=\\(m^2,7n^2,7mnk(a^2+ab+b^2),k^2)=}$$

$${x=(s^2-7)^2\\y=7(2s)^2\\z=14s(s^4-7^2)(s^8+686s^4+2401)\\w=(s^2+7)^2}$$

$${(s)=(2)→\\(x,y,z,w)=(9,112,12 596 892,121)}$$
$${9^7+112^7+(12 596 892)^2=121^7}$$
$${(s)=(3)→\\(x,y,z,w)=(4,252,86 725 632,256)}$$
$${4^7+252^7+(86 725 632)^2=256^7}$$
-------------------------------------------------
$${case(10.6)}$$
$${3^{14}+112^7+12 596 892^2=11^{14}}$$
$${case(10.7)}$$  
$${2^{14}+252^7+86 725 632^2=2^{56}}$$
-------------------------------------------------