数学の問題

こんにちは
今日は数学の問題を解いてみたいと思います

座標平面上の点P(x,y)がt≧0にたいして
x=1-e^-3t y=8-3t-8e^-3t
であらわされるとき以下の問いに答えよ

(1)t→∞のときxの極限値は
x→1 (t→∞)
でありt=0のとき
dy/dt=21
となる

dy/dt=-3+24e^-3t


また任意のtにたいして
d2x/dt2 +3dx/dt=0
d2y/dt2 +3dy/dt=-9
が成り立つ


dx/dt=3e^-3t
d2x/dt2=-9e^-3t

d2y/dt2=-72e^-3t



(2)dy/dx=0となるtの値をαとすると
e^α=8^1/3となる

dy/dx=dy/dt / dx/dt
=-3+24e^-3t /3e^-3t
=-1+8e^-3t /e^-3t

-1+8e^-3t=0
e^-3t =1/8
-3t=ln1/8=-ln8
t=ln8 /3=ln8^1/3


このときのxの値をβとすると
β=1-8^-1=7/8でありyの値は
8-3α -8e^-3ln8^1/3
=8-3α-1
=7-3αである



(3)0≦t≦αにたいして点Pの描く曲線とx=βおよびx軸で囲まれた図形の面積は

∫t=0~α ydx
=∫t=0~α 8-3t-8e^-3t 3e^-3t dt
=∫0 α 24e^-3t -9te^-3t -24e^-6t dt
=-8[e^-3t]α 0 -9∫0 α te^-3t dt +4[e^-6t]α 0
=-8 1/8 -1 -9(-α/24 +7/72)+4 1/64 -1
=7+9α/24 -7/8 -4 63/64
=7-7/8 -63/16 +9α/24
=35/16 +3α/8となる


7 -14/16 -63/16
112/16 -77/16
35/16


∫0 α te^-3t dt=[t -1/3 e^-3t]α 0 -∫0 α -1/3 e^-3t dt
=-α/24 -1/9 [e^-3t]α 0
=-α/24 -1/9 1/8 -1
=-α/24 +7/72

ありがとうございます