共形ゲージにおける2次元Ricciスカラー曲率

2次元の計量は共形ゲージで

$$
ds^{2}=-e^{2\omega(u,v)}dudv
$$

と書ける。このとき曲率は

$$
R=8e^{-2\omega}\partial_{u}\partial_{v}\omega
$$

となる。これは計量を

$$
g_{uu}=g_{vv}=0,\quad g_{uv}=g_{vu}=-\frac{1}{2}e^{2\omega}
$$

と置き、地道に計算することで得られる。なお、逆計量は

$$
g^{uv}=g^{vu}=-2e^{-2\omega}
$$

と書ける。まずChristoffel記号を計算する。ここでは

$$
\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma} = \frac{1}{2}g^{\alpha\mu}(\partial_{\beta}g_{\mu\gamma}+\partial_{\alpha}g_{\mu\beta}-\partial_{\mu}g_{\beta\gamma} )
$$

と定義する。このとき、ゼロでない値を持つのは$${\Gamma^{u}_{uu}}$$と$${\Gamma^{v}_{vv}}$$のみである。

$$
\begin{align*}
  \Gamma^{u}_{uu}&=\frac{1}{2}g^{u\mu}(\partial_{u}g_{\mu u}+\partial_{u}g_{\mu u}-\partial_{\mu}g_{uu})\\
  &=\frac{1}{2}(-2e^{-2\omega})(-e^{2\omega} \partial_{u}\omega -e^{2\omega} \partial_{u}\omega)\\
  &=2\partial_{u}\omega
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
  \Gamma^{v}_{vv}&=\frac{1}{2}g^{v\mu}(\partial_{v}g_{\mu v}+\partial_{v}g_{\mu v}-\partial_{\mu}g_{vv})\\
  &=\frac{1}{2}(-2e^{-2\omega})(-e^{2\omega} \partial_{v}\omega -e^{2\omega} \partial_{v}\omega)\\
  &=2\partial_{v}\omega
\end{align*}
$$

これを曲率の定義に代入すれば良い。

$$
\begin{align*}
R&=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu}\\
&=g^{\mu \nu}R^{\alpha}_{\mu\alpha\nu}\\
&=g^{\mu\nu}(\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu \alpha}+\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha})
\end{align*}
$$

ここで$${g^{\mu\nu}=g^{uv}=g^{vu }}$$以外と縮約する項は消えるので

$$
\begin{align*}
R=&g^{uv}(\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu \alpha}+\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha})\\
&+g^{vu}(\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu \alpha}+\Gamma^{\alpha}_{\rho\alpha}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\rho\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\alpha})\\
=&-2e^{-2\omega}(\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}{uv}-\partial{v}\Gamma^{\alpha}{u \alpha}+\Gamma^{\alpha}{\rho\alpha}\Gamma^{\rho}{uv}-\Gamma^{\alpha}{\rho v}\Gamma^{\rho}{u\alpha})\\
&-2e^{-2\omega}(\partial{\alpha}\Gamma^{\alpha}{vu}-\partial{u}\Gamma^{\alpha}{v \alpha}+\Gamma^{\alpha}{\rho\alpha}\Gamma^{\rho}{vu}-\Gamma^{\alpha}{\rho u}\Gamma^{\rho}_{v\alpha})\\
=&-2e^{-2\omega}(-\partial_{v}\Gamma^{u}_{uu}-\partial_{u}\Gamma^{v}_{vv})\\
=&-2e^{-2\omega}(-2\partial_{v}\partial_{u}\omega-2\partial_{u}\partial_{v}\omega)\\
=&-8e^{-2\omega}\partial_{u}\partial_{v}\omega
\end{align*}
$$

と求められる。