JT重力をやってみよう-古典解2(ディラトンの解)

JT重力における古典的な運動方程式の解を考えていきます。ここではディラトンについて解きます。以前と同じように

$$
S=\frac{\Phi_{0}}{16\pi G_{N}}\left( \int \sqrt{-g}R+2\oint\sqrt{-h}K  \right)+S_{JT}[g,\Phi]+S_{m}[\phi,g]
$$

の作用から始めます。JT重力の作用は

$$
S_{JT}[g,\Phi]=\frac{1}{16\pi G_{N}}\left( \int \sqrt{-g}\Phi(R+2)+2\oint \sqrt{-h}\Phi(K-1)\right)
$$

です。まずはここからディラトンの運動方程式

$$
\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\Phi -g_{\mu\nu}\nabla^{2}\Phi+g_{\mu\nu}\Phi =-8\pi G_{N}T_{\mu\nu}
$$

を導出します。

作用を計量によって変分することで求めていきます。煩雑さを回避するために

$$
S=S_{EH}+S_{JT}+S_{m}
$$

と置きましょう。第1項は以前述べた通りトポロジカルな項であり

$$
\frac{\delta S_{EH}}{\delta g^{\mu\nu}}=0
$$

です。また、物質場については通常のようにエネルギー・運動量テンソル$${T_{\mu\nu}}$$を汎関数微分によって

$$
T_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{m}}{\delta g^{\mu\nu}}
$$

と定義して用います。さて、$${S_{JT}}$$を計量について変分していきます。

$$
\delta S_{JT}=\frac{1}{16\pi G_{N}}\int (\delta(\sqrt{-g}R)\Phi+2\delta(\sqrt{-g})\Phi)
$$

Christoffel記号やRicciテンソル・曲率に関する公式

$$
\begin{align*}
\delta\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}&=\frac{1}{2}(\nabla_{\mu} g^{\alpha \lambda}\delta g_{\lambda \nu}+\nabla_{\nu} g^{\alpha \lambda}\delta g_{\lambda \mu}-\nabla^{\alpha} \delta g_{\mu \nu} ) \\
\delta R_{\mu\nu}&=\nabla_{\alpha}\delta\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha}-\nabla_{\nu}\delta\Gamma_{\mu\alpha}^{\alpha}\\
\delta R&= -R^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} -\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\delta g^{\mu\nu} -\nabla^{2}g^{\alpha\mu}\delta g_{\alpha\mu}
\end{align*}
$$

を用いて計算を進めます。

$$
\begin{align*}
  \delta (\sqrt{-g}R)\Phi=&\delta(\sqrt{-g})R\Phi+\sqrt{-g}\delta R \Phi\\
  =&-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}R\Phi\delta g^{\mu\nu}\\
  &-\sqrt{-g}(R^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} +\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\delta g^{\mu\nu} +\nabla^{2}g^{\alpha\mu}\delta g_{\alpha\mu})\Phi \\
  =&-\sqrt{-g}\left( \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R- R_{\mu\nu} \right)\Phi\delta g^{\mu\nu}\\
  &-\sqrt{-g}(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\delta g^{\mu\nu} +\nabla^{2}g^{\alpha\mu}\delta g_{\alpha\mu})\Phi
\end{align*}
$$

ここでRicciテンソルと$${\delta g^{\mu\nu}}$$の積について

$$
R_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}=-R^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}
$$

であり、2次元では

$$
\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R- R_{\mu\nu}=0
$$

です。よって

$$
\delta (\sqrt{-g}R)\Phi=-\sqrt{-g}(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\delta g^{\mu\nu} +\nabla^{2}g^{\alpha\mu}\delta g_{\alpha\mu})\Phi
$$

となります。また、

$$
2\delta (\sqrt{-g})\Phi=-\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\Phi \delta g^{\mu\nu}
$$

なので、まとめて

$$
\delta S_{JT}=-\frac{1}{16\pi G_{N}}\int \sqrt{-g} (\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\delta g^{\mu\nu}\Phi +\nabla^{2}g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}\Phi+g_{\mu\nu}\Phi \delta g^{\mu\nu})
$$

となります。いま、変分についての共変微分となっているので、2回部分積分を行うことでディラトンの微分にします。

$$
\begin{align*}
\delta S_{JT}&=-\frac{1}{16\pi G_{N}}\int \sqrt{-g} (\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\Phi\delta g^{\mu\nu} +\nabla^{2}\Phi g^{\alpha\mu}\delta g_{\alpha\mu}+g_{\mu\nu}\Phi \delta g^{\mu\nu})\\
&=-\frac{1}{16\pi G_{N}}\int \sqrt{-g} (\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\Phi-g_{\mu\nu}\nabla^{2}\Phi +g_{\mu\nu}\Phi) \delta g^{\mu\nu}
\end{align*}
$$

したがって、JT重力の作用について

$$
\frac{\delta S_{JT}}{\delta g^{\mu\nu}}=-\frac{\sqrt{-g}}{16\pi G_{N}}(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\Phi-g_{\mu\nu}\nabla^{2}\Phi +g_{\mu\nu}\Phi)
$$

を得ます。運動方程式は変分の1次をゼロと取ることで得られるので

$$
\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}}=0
$$

です。よって、以上の結果を組み合わせると

$$
0=0-\frac{\sqrt{-g}}{2}T_{\mu\nu}+\frac{\delta S_{JT}}{\delta g^{\mu\nu}}
$$

より

$$
\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\Phi-g_{\mu\nu}\nabla^{2}\Phi +g_{\mu\nu}\Phi=-8\pi G_{N}T_{\mu\nu}
$$

が得られます。