【ベクトル解析(?)】球座標のラプラシアンをうまく計算したい

この記事は一般相対論の知識がある人に向けて、球座標(3次元極座標)ラプラシアンの計算方法をメモしたものである。使うものはスカラー場の作用と最小作用の原理である。

球座標ラプラシアンの表示

ラプラシアンはざっくりいえば偏微分のナブラ$${\nabla}$$を2回作用させる演算子である。直交座標系であれば$${\nabla=(\partial_{x},\partial_{y},\partial_{z})}$$であり、ラプラシアンの計算も簡単にできて$${\Delta=\nabla^{2}=\partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{2}+\partial_{z}^{2}}$$である。

ところがこれを極座標$${(r,\theta)}$$、あるいは3次元にした球座標$${(r,\theta,\phi)}$$を用いると一気に煩雑になる。スカラー関数$${f}$$に作用させると考えよう。まずナブラについてである。

$$
\begin{align*}
\nabla f&=\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\\
&=\left( \frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta},\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial f}{\partial \phi}\right)
\end{align*}
$$

単純に$${(x,y,z)}$$をそのまま$${(r,\theta,\phi)}$$に置き換えても得られないことに注意せよ。これは、変数変換の際に基底ベクトルの変換も入ってくるためである。次に、ラプラシアンの表示を書く。

$$
\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} +\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{\partial f}{\partial \theta} +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}{\theta}}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
$$

これらの式から察せられる通り、素直に基底ベクトルや偏微分の変数変換を行っていくのはかなり面倒である。学部などでは教員が「面倒だけど人生で1回くらいはやっておいたほうがいい」と言って計算することになるが全く同じことを言う教員が3人くらいいるので結局なんどもやる。

詳しくベクトル解析の教科書を読むことをおすすめする。ネットで見つけたものとしては理数アラカルト

極座標での場の表現 (発散・勾配・回転・ラプラシアン)   - 理数アラカルト -

または動画媒体で数理物理チャンネル

を参照するのもよいだろう。

本題

ここで仮定するのは最小作用の原理が座標系によらず成立することである。さらに、球座標の計量が与えられているとする。そこまでは求められているとしよう。

仮想的なスカラー場$\phi$について作用を以下のようにおく。重複する添字でEinstein縮約を使っている。

$$
S=\int d^{3}x\frac{1}{2}\partial_{i}\varphi\partial_{i}\varphi
$$

境界でこのスカラー場の値はゼロである。この作用の変分からLaplace方程式を得る。

$$
\delta S=\int d^{3}x(-\delta \varphi)\partial_{i}^{2}\varphi=0\\
\therefore \, \Delta \varphi=0
$$

これを球座標で書き換える。与えられた球座標の計量は

$$
ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}
$$

なので積分測度と偏微分が得られる。

$$
d^{3}x=dxdydz=r^{2}\sin{\theta}drd\theta d\phi\\
\partial_{i}=\nabla =\left( \frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta},\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial f}{\partial \phi}\right)
$$

これを用いてもとの作用を書き換える。

$$
\partial_{i}\varphi\partial_{i}\varphi=(\partial_{r}\varphi)^{2}+\frac{1}{r^2}(\partial_{\theta}\varphi)^{2}+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}(\partial_{\phi}\varphi)^{2}
$$

であるから

$$
S=\int\frac{1}{2}\left( (\partial_{r}\varphi)^{2}+\frac{1}{r^2}(\partial_{\theta}\varphi)^{2}+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}(\partial_{\phi}\varphi)^{2} \right) r^{2}\sin{\theta}drd\theta d\phi
$$

となる。これを変分してLaplace方程式を導く。各部分積分を行う際に測度に注意して計算を行う。

$$
\begin{align*}
\delta S &=  \int\left( \partial_{r}\varphi\partial_{r}\delta\varphi+\frac{1}{r^2} \partial_{\theta}\varphi\partial_{\theta}\delta\varphi+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \partial_{\phi}\varphi\partial_{\phi}\delta\varphi \right) r^{2}\sin{\theta}drd\theta d\phi\\
&= -\int drd\theta d\phi \left( r^{2}\sin\theta \partial_{r}^{2}\varphi+2r\sin\theta \partial_{r}\varphi+\sin\theta \partial_{\theta}^{2}\varphi+\cos\theta \partial_{\theta}\varphi+\frac{1}{\sin\theta} \partial_{\phi}^{2}\varphi \right)\delta \varphi\\
&= -\int  \left( \partial_{r}^{2}\varphi+\frac{2}{r} \partial_{r}\varphi+\frac{1}{r^2} \partial_{\theta}^{2}\varphi+\frac{\cos\theta}{r^{2}\sin\theta}\theta \partial_{\theta}\varphi+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \partial_{\phi}^{2}\varphi \right)\delta \varphi r^{2}\sin{\theta}drd\theta d\phi\\
&=0
\end{align*}
$$

つまり、ここから得られた式は

$$
\Delta \varphi =\partial_{r}^{2}\varphi+\frac{2}{r} \partial_{r}\varphi+\frac{1}{r^2} \partial_{\theta}^{2}\varphi+\frac{\cos\theta}{r^{2}\sin\theta}\theta \partial_{\theta}\varphi+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \partial_{\phi}^{2}\varphi=0
$$

である。すなわち、

$$
\Delta = \frac{\partial^2 }{\partial r^2} +\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \theta^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{\partial }{\partial \theta} +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}{\theta}}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}
$$

が球座標におけるラプラシアンとなっている。前に出した式を比較して見よ。

まとめ

最小作用の原理を用いて球座標ラプラシアンを計算した。先に球座標における計量が分かっていることが必要なのでどの程度これが有用かはわからない。しかし計量さえわかればいろいろな座標でのラプラシアンが求められるテクニックであるため、知っておいて損はないと思う。基底の微分や偏微分いじいじが面倒だよ～って方にはおすすめです。

マジの一般的な座標で求めるやつは共変微分を2回かけたと思えば実は簡単に書ける。諸々は省くが、計量$${g^{ij}}$$として

$$
\Delta = \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_{i}(\sqrt{g}g^{ij}\partial_{j})
$$

と書ける。

追記

この記事を書き終わったくらいで他に参考になるサイトとかないかなと思ってネットを彷徨っていたら全然同じ内容の話があった。学部から物理やってるんだから「いろもの物理」くらい知っておけ！ってだけですね。えぇ、こっちのほうが情報が多いし記述も洗練されてます……(当然の経験値差)(完)

極座標のラプラシアンの出し方いろいろ