抵抗のある落下運動
雨粒の落下運動について、空気抵抗のある自由落下として扱う場合が多い。
その場合の支配方程式は $${ ma = mg - kv }$$となる。
ただし、
・$${ m }$$は雨粒の質量
・$${ a }$$は雨粒の加速度
・$${ g }$$は重力加速度
・$${ k }$$は空気抵抗定数
・$${ v }$$は雨粒の速度
1. 地道な計算
$${ ma = mg - kv }$$ は変数分離形として解ける。
$${ f = mg - kv }$$と置けば、$${ \dfrac{d\!f}{dv} = -k }$$、$${ \dfrac{dv}{d\!f} = -\dfrac1k }$$。
落下開始時刻を$${ t = 0 }$$に取れば、初期状態では$${ v = 0 }$$、$${ f = mg }$$となる。
これを使って置換してから積分すれば、
$${ ma = mg - kv }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} m\dfrac{dv}{dt} = f }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} m\dfrac{dv}{d\!f}\dfrac{d\!f}{dt} = f }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} -\dfrac{m}{k} \dfrac{d\!f}{dt} = f }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} -\dfrac{m}{k} \dfrac{1}{f} \dfrac{d\!f}{dt} = 1 }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle -\dfrac{m}{k} \int_0^t \dfrac{1}{f} \dfrac{d\!f}{dt} dt = \int_0^t dt }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle -\dfrac{m}{k} \int_{mg}^f \dfrac{d\!f}{f}= \int_0^t dt }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} -\dfrac{m}{k} \Big[ \log_e f \Big]_{mg}^f= \Big[\,t \,\Big]_0^t }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} -\dfrac{m}{k} \Big[ \log_e f - \log_e mg \Big]=t }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \log_e \dfrac{f}{mg} = -\dfrac{k}{m} t }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \dfrac{f}{mg} = e^{-\frac{k}{m} t} }$$
$${ f }$$を戻せば、
$${ \rule{0ex}{5ex} \dfrac{mg - kv}{mg} =e^{-\frac{k}{m} t} }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} 1 - \dfrac{kv}{mg} = e^{-\frac{k}{m} t} }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \dfrac{kv}{mg} = 1 - e^{-\frac{k}{m} t} }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} v = \dfrac{mg}{k}\Big( 1 - e^{-\frac{k}{m} t} \Big) }$$
さらに時刻で積分すれば雨粒が落下開始してからの変位$${ y }$$を得られる。
$${ \rule{0ex}{5ex} y = \displaystyle \int_0^t v\,dt }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} = \displaystyle \dfrac{mg}{k} \int_0^t \Big( 1 - e^{-\frac{k}{m} t} \Big) dt }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} = \dfrac{mg}{k} \Big[ t +\dfrac{m}{k} -e^{-\frac{k}{m} t} \Big]_0^t }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} = \dfrac{mg}{k} \Big[ t +\dfrac{m}{k} e^{-\frac{k}{m} t} - 0 - \dfrac{m}{k} \Big] }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} = \dfrac{m^2g}{k^2} \Big[ \dfrac{k}{m} t - 1 + e^{-\frac{k}{m}t} \Big] }$$
2. 極限値の計算
ここで、最終落下速度は、無限の時間経過での速度を考え、
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle \lim_{t \to \infty} v = \lim_{t \to \infty} \dfrac{mg}{k}\Big( 1 - e^{-\frac{k}{m} t} \Big) = \dfrac{mg}{k} }$$
さらに、質量が大きく、$${ m >\!\!> k }$$の場合を考えると、
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle \lim_{m \to \infty} y = \lim_{m \to \infty} \dfrac{m^2g}{k^2} \Big[ \dfrac{k}{m} t - 1 + e^{-\frac{k}{m}t} \Big] }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} e^{-\frac{k}{m}t} }$$をテーラー展開して計算すれば、
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle \lim_{m \to \infty} y = \lim_{m \to \infty} \dfrac{m^2g}{k^2} \Big[ \dfrac{kt}{m} - 1 + \Big( 1 - \frac{kt}{m} + \frac{k^2t^2}{2!m^2} - \frac{k^3t^3}{3!m^3} + \cdots \Big) \Big] }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle = \lim_{m \to \infty} \dfrac{m^2g}{k^2} \Big[ \frac{1}{2!} \frac{k^2}{m^2}t^2 - \frac{1}{3!} \frac{k^3}{m^3}t^3 + \cdots \Big] }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle = \lim_{m \to \infty} g \Big[ \frac{t^2}{2!} - \frac{1}{3!} \frac{k}{m}t^3 + \cdots \Big] }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle = g \frac{t^2}{2!} }$$
$${ \rule{0ex}{5ex} \displaystyle = \frac12gt^2 }$$
3. 極限状態の方程式による別解
こんな面倒な計算をしなくても、物理的考察から簡単に導ける。
$${ m >\!\!> k }$$の場合、$${ ma = mg - kv }$$の重力項が支配的で、抵抗項が相対的に無視できるため、ほぼ自由落下と予想できる。式としては、$${ a = g - \rule{0ex}{5ex} \dfrac{k}{m} v }$$に変形して、$${ \displaystyle \lim_{m \to \infty} \dfrac{k}{m} = 0 }$$として、直ちに$${ a = g }$$、$${ t = \dfrac{gt^2}{2} }$$と出せる。
また、無限時間では、重力項が一定で抵抗項が増すため、$${ a = 0 }$$となって最終速度は収束することが予想できる。そのため、最終速度は$${ 0 = mg - kv }$$から直ちに$${ v = \dfrac{mg}{k} }$$と出せる。
4. 可視化
グラフの可視化は desmos が便利。
横軸は時間、縦軸は変位と速度。
赤線は変位$${ \rule{0ex}{5ex} y = \dfrac{m^2g}{k^2} \Big( \dfrac{k}{m} t - 1 + e^{-\frac{k}{m}t} \Big) }$$。
青線は速度$${ \rule{0ex}{5ex} v = \dfrac{mg}{k}\Big( 1 - e^{-\frac{k}{m} t} \Big) }$$。
緑線は最終速度$${ v_{\infty} = \dfrac{mg}{k} }$$、青線の収束先である。
重力加速度$${ g }$$は全体に定数で掛かっているため、縦軸のスケールにのみ影響する。簡単にするため、$${ g=1 }$$とした。
速度項の比例係数$${ k }$$は必ず$${ n= \dfrac{m}{k} }$$の形で現れるため、$${ m \to \infty }$$を大きくすることは、$${k \to 0}$$と同じである。物理的にも質量を無限大にするよりも、速度抵抗が$${ 0 }$$に近い状態を考えた方が現実的である。簡単にするため、$${ m=1 }$$とした。
$${ k }$$は適切な単位を選ぶとして図1.1では$${ k=1 }$$とした。これを標準状態とし、$${ k }$$を動かすことでグラフの変化を調べる。
$${ k \to 0 }$$が$${ m \to \infty }$$に相当する。$${ k }$$を小さくして行くと、青線の指数グラフがどんどん開いていき、収束先の緑線がどんどん高くなっていく。速度抵抗が小さくなるので、加速の抑制が小さくなり、最終速度が速くなる物理現象に対応している。
$${ k }$$を更に小さくして行くと、青線が直線$${ y_{\rm ideal} = gt }$$に近づていく。赤線は放物線$${ v_{\rm ideal} = \dfrac12 gt^2}$$に近づく。これは$${ k=0 }$$のときは自由落下の支配方程式$${ma = mg}$$になるの考えると、辻褄が合う結果と言える。
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