群と表現　～振り返り用～

§１　群

・有限群の例を挙げよ。

・不連続無限群の例を挙げよ。

・連続無限群の例を挙げよ。

・群の定義を述べよ。

・可換群（アーベル群）の例を挙げよ。

・加群の定義と例を挙げよ。

・正三角形の合同変換群C3Vの群表を書いて、部分群を見いだせ。

・組み換え定理とは
G={g1,g2,…,gr} に対して右から任意のGの元gをかけた
{g1g,g2g,…,grg} には、Gの元はただ１度のみ1度でるという定理。
これを群の定義に注意して証明せよ。

・群の間の関係である同型と準同型の違いを説明せよ。

・剰余類について説明し、位数が素数の群は、単位元群と自身以外に部分群を含まないことを示せ。

・左剰余類と右剰余類が一致しない例を挙げよ。（できたら）

・共役および類の定義を述べよ。

・以下３つの類演算子のもつ性質を証明せよ。
(1) C_iは群Gの任意の元gと可換。
(2) 類演算子同士は可換。
(3) 類演算子同士の積は類演算子の線形結合で表現できる。（ちょい難）

・不変部分群（正規部分群）の定義を述べ、それの左剰余類と右剰余類は等しいことを示せ。

・商群（余剰類群、因子群）の定義を述べよ。
ヒント：Gの不変部分群Nによる余剰類を2つ用意して、それぞれから任意の元を取ってきて積をとる。

・群Gから商群G/Nへの写像をf(g_i)=N g_i としたとき、それが順同型であることを示せ。

・準同型定理とは何か述べ、証明せよ。
ヒント：核

・直積群を位数に言及しながら説明せよ。

§２　対称群

・置換が群を構成することを示せ。

・C_{3V} と S_3 が同型であることを示せ。

・置換を互換の積で表す方法は一意でないことを例を挙げて示せ。

・しかし、互換の積の数の偶奇は一意に決まることを証明せよ。

・対称群Snのうち、偶置換・奇置換の数が半々であることを証明せよ。

・