非平衡メモ

2023年2月23日 01:56

言葉

緩和：非平衡 → 平衡

ゆらぎには、遅い変化と速い変化がある。

ランジュバン方程式

ランジュバン方程式は不規則な運動を記述するのに適している。

Ex 線形）ブラウン運動のEOM（線形ランジュバン方程式）
mV^・(t) ＝ - λ V (t) + R (t)
ただし、R (t) はランダム力であり、撃力なので R (t) ∝ δ (t-t_0) 。
ランダム力のアンサンブル平均はゼロで、他の時間との相関もゼロである。

Ex 非線形）レーザートラップされた水中のコロイド粒子（非線形〃）
0 ＝ λX^・(t) - ∇u(X) + R(t)
微小質量時で力はゼロ。0 = (水の抵抗) + (レーザーによるポテンシャル勾配) + (ランダム力)

フォッカー・プランク方程式（FP方程式）

FP方程式は非線形ランジュバン方程式と等価である。
FP方程式は、いくつかの仮定の基で、一度差分化された「非線形ランジュバン方程式」を、任意関数の「平均値の方程式」に代入することで得られる。（厳密には仮定と併せて等価ということ。）

ただし、Ｐ(x,t) は分布関数、F(x(t)) は x(t) の関数、D は異なる時刻のRの相関の大きさを示す値である。

FP方程式は、例えばブラウン運動における位置の分布関数が時間経過と伴に広がっていく様子をよく表現できる。もちろん、レーザートラップされた水中のコロイド粒子の描像も記述できる。

第２種揺動散逸定理（2nd FDT）

2nd FDT は P, F, D の間の関係を与える。
2nd FDT を
・ブラウン運動に応用するとアインシュタインの関係式
・ホワイトノイズに応用するとナイキストの定理
が得られる。

＜第２種揺動散逸定とは＞
X=X(t) がランジュバン方程式に従い、
かつ、FP方程式と等価なための条件を満たしており、
第一式のようなFP方程式の平衡解 P_eq(x) が存在するとき第二式が言える。
第二式は、F(x)がS(x)により決定されることを意味する。
特に、F(x)=L dS(x)/dx、つまり、X^・= L dS(X)/dx + R(t) のとき
L=D/2
が成り立つ。これが第２種揺動散逸定理。
なお、第二式は連続の式とFP方程式を設定したいくつか仮定のもとで変形することにより得られる。