4-3．いまさらきけない多項式（分配律，展開の基本）

分配律は2-2.文字式の話で紹介したのが最初です。それ以来、同類項の計算や括弧を外すときに繰り返し使われてきました。4-1.でも分配律を使って同類項をまとめました。難しかったと思うので、再掲します：

次式はｔに着目して、１行目の式を降べきの順に並び換えたという式です。

この式で、２行目から３行目に掛けて変形するときに、分配律を使って同類項をまとめました。分配律というのは am+bm=(a+b)m というものでした。
括弧を外すときは、多くの場合、m(a+b)=ma+mb の形で使われます。

展開というのは、多項式の掛け算の形を１つの多項式で表すことです。
例えば、t(x+1)=tx+t は左辺を展開して、右辺に変形した式です。
左辺はｔと (x+1) の掛け算で、右辺は項が tx と t を＋で結んだ多項式です。
展開というときは、ふつう、１次式以上のいくつかの掛け算の形を１つの多項式で表すことをいいます。つまり、2(x+1)=2x+2 は展開とはいいません。

そのときによく使われるのは、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd …(♪) の形です。
この式の左辺は、(a+b)･(c+d) のことですから、多項式の掛け算になっていますね。右辺は４つの項が「＋」で結ばれているので、１つの多項式です。
左辺を展開して、右辺の多項式を得たことを表す式です。

どうしてこの式が成り立つのか説明します：(a+b)(c+d) 
➡ c+dをｍと考えると，(a+b)m．
➡ 分配律を使うと，(a+b)m=am+bm.
➡ ｍはc+dのことだから，a(c+d)+b(c+d)．
➡ もう一度分配律を使うと，a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd.
つまり、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd が成り立つ．

実は、分配律を図形を使って説明したように、この式も図形を使って考えると自然な等式なのです。

分配律のところで話をしようと思っていて、忘れていたことを書きます。
分配律 (a+b)m=am+bmも等式 (♪) も次の等式 (♬) も小学算数で使いましたね。それは、37×4，42×15，318×93を計算するときです：
37×4=(30+7)×4=30×4+7×4=120+28=148，
42×65=(40+2)×(60+5)=(40+2)×60+(40+2)×5=40×60+2×60+40×5+2×5
　　   =2400+120+200+10=2330，
318×93=(300+10+8)×(90+3)=(300+10+8)×90+(300+10+8)×3
            =300×90+10×90+8×90+300×3+10×3+8×3（以下略）
これらを縦に並べたのが筆算です。原理はとうに習っていたのです。

分配律を繰り返し使うことにより、次式も成り立ちます。
(a+b+c)(d+e)=ad+ae+bd+be+cd+ce …(♬)
図形で示しておきます。

展開の基本は、それぞれの括弧の中から一つずつとってそれを掛け、すべての場合をつくした後、それらをすべて「＋」で結べばいいのです。図形で考えると分かり易いと思います。

では問題です。
数式 (a+b+c+d)(x+y+z) を展開すると、異なる項は何個できますか。

答え 12個.
解説：これまでの図を真似て、図を書いてみてください。（※１）
尚、(a+b+c+d)(x+y+z)＝ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz+dx+dy+dz.

発展問題です。
数式 (a+b)(p+q)(x+y) を展開すると、異なる項は何個できますか。

答え ８個.
解説：(a+b)(p+q)を展開すると項は4つで、それに(x+y)を掛けたら8つになります。これまでの図を真似て、図を書いてみてください。（※２）
尚、(a+b)(p+q)(x+y)=(ap+aq+bp+bq)(x+y)
　　　　　　　　　=apx+apy+aqx+aqy+bpx+bpy+bqx+bqy.

ここに挙げた問題は、高校数学Ａで学ぶことですが、原理を理解すれば中学数学で十分理解し、解けます。▢

※１　(a+b+c+d)(x+y+z) の図　４×３で１２区画できます。

※２　二通りの図が考えられます。
その１：(a+b)(p+q) は項が４つだから、縦４つ、横２つに区切った長方形。
その２：縦２つ、横２つ、高さ２つに区切った直方体。
ただ、４つの括弧の積だった場合は、直方体のような図が書けませんね。