2-4．いまさらきけない『文字式の計算②』

今回は、文字式の計算練習をします。その前に、数学用語「多項式、項、同類項」について説明します。もしこの言葉が覚えられなくても、これから何度も使っていくと思うので、自然と覚えられます。

数式というと、あらゆるこれまで登場した式がそれに当てはまります。多項式(ﾀｺｳｼｷ)は、積だけで成り立っている式が「＋」で結ばれた式のことです。
極端な形で言えば、3abcxyz+8abx+10は多項式です。2/x+3a+7は多項式ではありません。2/xは積(掛け算)でなく、商(割り算)の式だからです。でも、2/xは数式で、特に「分数式」と言われます。この式を扱うのは、高校数学Ⅰからです。中１数学でも出てきますが、「反比例の式」としてです。尚、数は分数でも小数でも他の数(複素数)でも構いません。

多項式はx+2y-3, 5xy-6x+8y+1 のような形をしています。ここで一つ注意をしておきます。多項式は「積だけで成り立っている式が『＋』で結ばれた式のことです」といいました。気になりませんか。『－』が入っていますよね。-3, -6x のように。これは、本来 x+2y+(-3), 5xy+(-6)x+8y+1 と書くのですが、+(-3), +(-6)x を単に -3, -6x と書くことにすると約束したのです。また、x や １は１つの積と考えいます。

多項式がどういうのか掴めたと思うので、次に「項(ｺｳ)」について説明します。
x+2y-3 は x, 2y, -3 を「＋」で結んだ式でした。このときの x, 2y, -3 を項といいます。これで、5xy-6x+8y+1 の項もわかると思います。5xy, -6x, 8y, 1 が項です。

次に「同類項(ﾄﾞｳﾙｲｺｳ)」ですが、「同類」は同じ仲間のことですから、何を仲間と見るかが判ればいいですね。
分かり易い例①：3x, 7x, 2x, -4x, x などは同類項です。
分かり易い例②：3a, 7a, 2a, -4a, a も同類項です。
分かり易い例③：3xy, 7xy, 2xy, -4xy, xy も同類項です。
分かり易い例④：3, 7, 2, -4, １も同類項です。

感覚的に言えば、文字の部分が全く同じなら、仲間と考えます。④は数だけですが数だけなので仲間と考えます。現段階ではこれで十分です。

同類項の何がうれしいかというと、もう既に説明済みなのですが、同類項は分配律を使って簡単な形にできるという点です。では、その計算練習をしましょう。

例題　次の式を簡単にしてください。
① 3(a+4)-5(2a-3)
この式は、3･(a+4)+(-5)･(2a+(-3)) という式なので、分配律 m(a+b)=ma+mb
を利用して計算していきます。
3(a+4)=3･(a+4)=3･a+3･4=3a+12, 
-5(2a-3)=-5･(2a+(-3))=-5･2a+(-5)･(-3)=-10a+15．
だから、
3(a+4)-5(2a-3)
　⇓
(3a+12)+((-10)a+15)
　⇓　足し算だけの式なので、どこからでも計算でき、交換もできます
3a+(-10)a+12+15
　⇓　分配律を使って、同類項の計算をします
(3+(-10))a+(12+15)
　⇓　
(-7)a+27
　⇓
-7a+27
さて、計算はここまでで終りですが、理由が説明できますか。

理由は、-7aと 27 は同類項ではないから、分配律を使って一つにまとめることができません。この理由までいえて、計算ができたことになります。

(3a+12)+((-10)a+15) は「足し算だけの式なので、どこからでも計算でき、交換もできます」をきちんと言っておくと、結合律と交換律というものです。
結合律：(a+b)+c=a+(b+c) どこから計算しても良いという式なので、括弧
　　　　は省略されます。
交換律：a+b=b+a 入れ替え自由という式です。
多項式の括弧を外すと上の２つが使えて、項の入れ替えが自由にできます。
これは 1-15．プラス・マイナスの計算で言い残したこと(前)でも話ました。

実際には、ふつうこのように書きます：
3(a+4)-5(2a-3)=3a+12-10a+15=-7a+27．
※ ①が理解できれば、後はすべて同じ要領です。

② 4(xy+3)+3(2xy+5)
分配律を使って括弧を外します：
4(xy+3)=4･(xy+3)=4･xy+4･3=4xy+12, 
3(2xy+5)=3･(2xy+5)=3･2xy+3･5=6xy+15．
したがって、次のようになります：
4(xy+3)+3(2xy+5)=4xy+12+6xy+15=(4+6)xy+(12+15)=10xy+27．

③2a(b+4)+5a(8b-3)
分配律を使って括弧を外します：
2a(b+4)=2a･(b+4)=2a･b+2a･4=2ab+8a, 
5a(8b-3)=5a･(8b+(-3))=5a･8b+5a･(-3)=40ab+(-15)a=40ab-15a．
したがって、
2a(b+4)+5a(8b-3)=2ab+8a+40ab-15a=(2+40)ab+(8-15)a=42ab-7a．

要点：分配律を使うときにも、同類項をまとめるときにも、常に「項」を意識して計算することです。

多項式の「項」がいかに大切か分かってもらえたでしょうか。
多分、「用語の部分は簡単だ」と思ったかもしれませんが、私が時間をかけて説明したのはとても大切なところだからです。だから、例題の①も理解できるよう見直してくださいね。▢