3-1．いまさらきけない方程式（等式、方程式、恒等式、公式）

（2021.2.20 加筆《リンクを設定》しました）
方程式（ﾎｳﾃｲｼｷ）はこういう形のものです：

①～④は代数方程式、⑤は三角方程式と呼ばれます。さらに、①は１次方程式、②は２次方程式、③は３次方程式、④は連立方程式と呼ばれます。
大きな特徴は、文字「ｘ（エックス）」が使われていることと、等号「＝」で結ばれていることです。文字は「ｘ」でなく他の文字のときもあります。ｘは日常でも使われていますね。ミスターＸ、容疑者Ｘの献身、レントゲンが発見したＸ線などです。未知なものにＸを使います。これは方程式が由来で、数学ではそのｘのことを未知数と呼びます。

ところで、等号「＝」の意味は知っていますか。多くの人はこの記号を「イコール」と読むと思いますが、正にそのことです。
equal(イｰｸｩｫﾙ)は「等しい」を意味する英語で、「イ」にストレスがあります。でもほとんどの小学生は「答え」と認識しています。私もそうでした。「等しい」と習いはしますが、「答え」で覚えてしまうものです。算数ではそういう意味でしか使われないから無理もありませんね。等しくなくても「＝」で結んでますし。えっ、気づきませんでしたか。「４７÷５＝９あまり２」と表記しているではありませんか。

等号で結ばれている式（等式）は、他に、２＋３＝５とか下の画像

のようなものがあります。
等式２＋３＝５や⑥，⑦は恒等式（ｺｳﾄｳｼｷ）と呼ばれ、方程式と区別されています。
⑧は円の面積を求める「公式」、⑨はベクトルの内積の「定義式」、
⑩は理科(物理)で学ぶオームの法則と呼ばれる「関係式」です。でも⑩は方程式と呼ばれることもあるようです。「台形の面積公式」や「速さの定義式」、そして「てこの原理」の方が例としては良かったかもしれません。

薄々感じていましたが、今回の話を書くにあたり確認したら、英語では等式も方程式も「equation」です。恒等式は「identity」と呼ばれます。（※１）
日本語には、「方程」が西洋数学を輸入する前からあったのが要因と思われます。中国から渡来してきた『九章算術』に書かれていたようです。未知数を求める術が書かれていたのではと推測しています。

方程式と恒等式を合わせて「等式」と呼び、方程式は「ある特定の値に対してのみ等号が成立する等式」で、恒等式は「任意の値に対して等号が成り立つ等式」とされています。
数学の世界を冒険し続けると、この定義には問題があることが見えてきますが、そのときに考えればいいと思います。特に問題は起こりません。

代数方程式①～③を満たす値を「根（ｺﾝ）」または「解（ｶｲ）」と呼びます。④、⑤を満たす値は「解」と呼び、「根」とは言いません。
「根」と呼ばれる意味を説明するのは、因数定理を紹介した後になると思います。勘が働けば、二次方程式を学んでいるときに気づくかもしれません。
そういう人には数学研究者という道があります。

①の根は１、②の根は３とｰ5、③の根は-1と-1と２です。
ちなみに、①の解は１、②の解は３とｰ5、③の解は-1と２です。
①～③に値を当てはめて確認してみてください。等号が成り立っているはずです（※１）。さらに、①～③に思い浮かんだ数値を当てはめて、等号が成り立たないことまで確かめたら完璧です。

⑥、⑦に関しては、思い浮かべた数値を当てはめてみてください。必ず、成り立っているはずです。２，３回試してみたら「恒等式」らしいと思えると思います。「恒」は訓読みで「つね」です。「常に（つねに）」等しい式だから「恒等式」と名付けたのだと思います。
（方程式を再掲）

まずは、方程式①を解くことがしばらくの目標となります。この話が理解できれば、④は解けるようになります。
もう少し扱いやすい連立方程式：2x+y=5, x-y=1 ― ④であれば、理屈だけで解けるようになります。▢

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※１　参考資料：小松勇作 編『数学 英和・和英辞典』（共立出版）

※「根」と「解」については 理一の数学雑談 「｢解｣と｢根｣を考えていたら、頭が頭痛で痛くなった話」もご覧ください。