ハミルトン方程式

ラグランジアンは、一般的に$${L= T-V}$$のように書くことができます。ここで、$${T}$$は運動量、$${V}$$はポテンシャルエネルギーになります。つまり、ラグランジアンは、座標$${q}$$と速度$${\dot{q}}$$の関数になります。座標$${q}$$と速度$${\dot{q}}$$の関数として、ラグランジアンの完全微分は次のように表すことができます。

$${dL = \frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}}$$

ここで、$${\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p}$$で、ラグランジュ方程式$${\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0}$$より、$${\frac{\partial L}{\partial q}=\dot{p}}$$となります。

上式は、次のように書けます。

$${dL = \dot{p}dq + pd\dot{q}}$$

ここで、$${d(p\dot{q}) = pd\dot{q}+\dot{q}dp}$$より、$${pd\dot{q}= d(p\dot{q}) -\dot{q}dp}$$となるので、これを上式に代入すると、

$${d(p\dot{q} - L) = -\dot{p}dq + \dot{q}dp}$$

となります。ここで、$${H = p\dot{q} - L}$$とおくと、

$${dH = pdq + \dot{q}dp}$$

となるので、ここから次式を得ることができます。

$${\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}}$$、$${p = -\frac{\partial H}{\partial q}}$$

これが、ハミルトン方程式になります。また、$${H}$$は、ハミルトニアンとよばれます。

参考文献

力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程