反変ベクトルと共変ベクトル
スカラー場$${\phi}$$の時空間微分を考えましょう。
$${\partial_{\mu}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial X^{\mu}}}$$
ここで、2つの座標系$${X^{\mu}}$$と$${X^{'\mu}}$$を考えたとき、それぞれの無限小並進$${dX^{\mu}}$$と$${dX^{'\mu}}$$は、次のように書くことができます。
$${dX^{'\mu} = \frac{\partial X^{'\mu}}{\partial X^{\nu}}dX^{\nu}}$$
$${dX^{'\mu}}$$を$${A^{'\mu}}$$に変えて、$${dX^{\nu}}$$を$${A^{\nu}}$$に置き換えて一般化すると、
$${A^{'\mu} = \frac{\partial X^{'\mu}}{\partial X^{\nu}}A^{\nu}}$$
となります。さらに、スカラー場$${\phi}$$の$${X^{'\nu}}$$の時空間微分は、チェーンルールを使うことで、
$${\frac{\partial\phi}{\partial X^{'\nu}} = \frac{\partial X^{\mu}}{\partial X^{'\nu}}\frac{\partial\phi}{\partial X^{\mu}}}$$
となります。略した書き方では以下のようになります。
$${\partial^{'}_{\nu}\phi = \frac{\partial X^{\mu}}{\partial X^{'\nu}}\partial_{\mu}\phi}$$
これを一般化して、次の式を得ることができます。
$${A^{'}_{\nu} = \frac{\partial X^{\mu}}{\partial X^{'\nu}}A_{\mu}}$$
$${A^{\mu}}$$のように変換するのが反変成分、$${A_{\mu}}$$のように変換するが共変成分をよばれます。
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