反変ベクトルと共変ベクトル

スカラー場$${\phi}$$の時空間微分を考えましょう。

$${\partial_{\mu}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial X^{\mu}}}$$

ここで、２つの座標系$${X^{\mu}}$$と$${X^{'\mu}}$$を考えたとき、それぞれの無限小並進$${dX^{\mu}}$$と$${dX^{'\mu}}$$は、次のように書くことができます。

$${dX^{'\mu} = \frac{\partial X^{'\mu}}{\partial X^{\nu}}dX^{\nu}}$$

$${dX^{'\mu}}$$を$${A^{'\mu}}$$に変えて、$${dX^{\nu}}$$を$${A^{\nu}}$$に置き換えて一般化すると、

$${A^{'\mu} = \frac{\partial X^{'\mu}}{\partial X^{\nu}}A^{\nu}}$$

となります。さらに、スカラー場$${\phi}$$の$${X^{'\nu}}$$の時空間微分は、チェーンルールを使うことで、

$${\frac{\partial\phi}{\partial X^{'\nu}} = \frac{\partial X^{\mu}}{\partial X^{'\nu}}\frac{\partial\phi}{\partial X^{\mu}}}$$

となります。略した書き方では以下のようになります。

$${\partial^{'}_{\nu}\phi = \frac{\partial X^{\mu}}{\partial X^{'\nu}}\partial_{\mu}\phi}$$

これを一般化して、次の式を得ることができます。

$${A^{'}_{\nu} = \frac{\partial X^{\mu}}{\partial X^{'\nu}}A_{\mu}}$$

$${A^{\mu}}$$のように変換するのが反変成分、$${A_{\mu}}$$のように変換するが共変成分をよばれます。