【読書_学び整理】統計学がわかる

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■平均と分散
・あるデータの集団の代表の値として、平均値を用いることが多い
（中央値も代表の値の1つ）
　平均値＝データの総和÷データ数

・平均値に差がなくても、データの散らばり具合は異なることがある

・データの散らばり具合を見るためには、度数分布図（ヒストグラム）を描く
　度数分布を作る場合、一区切りのグループを作る。これを階級と呼ぶ。
　（階級の区切り方は個人の選択）
　1つの階級に含まれるデータの個数を度数と呼ぶ。

・データの散らばり具合を示す数値として、分散や標準偏差を用いる
　分散：平均値を中心にして、データがどのくらいバラついているのかを示した数値
　　　　分散＝（（データ-平均値）^2）の総和÷データ数
　標準偏差：分散のルート
　　　　　　分散は式の中で2乗しているため、
　　　　　　単位を揃えるために分散の平方根（ルート）を取る必要がある。

■母集団
・それについて知りたいと思う、全体のデータを母集団という
　母集団からいくつか取り出したデータを標本という
　標本内のデータの数をサンプルサイズという
　良い標本を取り出すためには、無作為（ランダム）抽出することが必要

・母平均は標本の平均で推定可能
　母分散は標本の不偏分散で推定可能
　不偏分散＝（（データ-平均値）^2）の総和÷（サンプルサイズ-1）

・母平均が95%の確率で含まれているような範囲を95%信頼区間という
　信頼区間＝標本平均±t×標準誤差
　標本平均の分散＝（母分散÷サンプルサイズ）
　　　　　　　　　（不偏分散÷サンプルサイズ）
　標本平均の標準偏差（誤差）＝√不偏分散÷サンプルサイズ

・tの値は確率（95%や99%）と自由度によって変わるので、t分布表を見る

・サンプルサイズから1を引いたものを自由度という

■仮説検定の方法
①「〇〇と△△との間には差がない」という形の帰無仮説を立てる
②期待度数と観測度数のズレを見るためカイ2乗値を計算する
③カイ2乗値の出現確率を調べる
④有意水準を基準にして帰無仮説を棄却するか、あるいは採択するかを決める

・なぜ、「差はない」という帰無仮説を立てるのか？
⇒「差はある」という仮説は、大中小など無限に立てることが可能。
　その1つ1つを検討していくことは不可能なので、「差はない」という仮説を立てることで、あるかないかを決めるシンプルな形にしている。

・カイ2乗値とは
観測度数と期待度数のズレが「誤差の範囲のもの」なのか、それとも「誤差とは言えない、誤差以上のもの」なのかを決める数値
カイ2乗値＝（（（観測度数-期待度数）の2乗）÷期待度数）の総和
観測度数：実際に観測された値（実測値）
期待度数：同じ割合で出る数値

【カイ2乗値の性質】
・期待度数と観測度数が完全に一致すれば、カイ2乗値はゼロになる
・逆に、不一致（ズレ）が大きくなれば、カイ2乗値は大きな値になる

・カイ2乗分布とは
横軸にカイ2乗値を取り、縦軸に確率密度を取ることで描けるグラフ
下のように自由度によってカイ2乗分布は異なる

カイ2乗値からそれが起こる確率を調べるために下記の様なカイ2乗分布票を使う。

■対応のないt検定
①帰無仮説を立てる（〇と△の差がない）
②帰無仮説の否定である、対立仮説を立てる
③有意水準を決める
　通常は厳しくて1%、少し甘くて5%にする
④得られた標本を使って、指標tを計算する
⑤標本の数から自由度を計算する
　自由度＝（Aのサンプルサイズ-1）+（Bのサンプルサイズ-1）
　　　　＝Aのサンプルサイズ＋Bのサンプルサイズ-2
⑥t分布表の該当する自由度のところを見て、求めたtが棄却域に入っているかいないかを判定し、
　帰無仮説を棄却するか、採択するかを決める。
　・もしtが棄却域に入っていなければ、帰無仮説を採択する
　・もしtが棄却域に入っていれば、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する
⑦結論を決める
　帰無仮説を採択：〇と△の差がない
　対立仮説を採択：〇と△の差がある

■対応のあるt検定
①帰無仮説を立てる（〇と△の差がない）
②帰無仮説の否定である、対立仮説を立てる
③有意水準を決める
　通常は厳しくて1%、少し甘くて5%にする
④得られた標本を使って、指標tを計算する
　t=差の平均÷√不偏分散÷サンプルサイズ
　あるいは、
　t=差の平均÷√標本分散÷（サンプルサイズ-1）
⑤標本の数から自由度を計算する
　自由度＝差のサンプルサイズ-1
⑥t分布表の該当する自由度のところを見て、求めたtが棄却域に入っているかいないかを判定し、
　帰無仮説を棄却するか、採択するかを決める。
　・もしtが棄却域に入っていなければ、帰無仮説を採択する
　・もしtが棄却域に入っていれば、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する
⑦結論を決める
　帰無仮説を採択：〇と△の差がない
　対立仮説を採択：〇と△の差がある

■分散分析（1要因）
①帰無仮説を立てる（3つの評価の平均に差はない）
②帰無仮説の否定である、対立仮説を立てる
　（3つの評価の平均において、少なくとも1つの組み合わせに差がある）
③有意水準を決める
　通常は厳しくて1%、少し甘くて5%
④得られた標本を使って、全体の平方和、群間の平方和、郡内の平方和を計算する
⑤分散分析表を作り、自由度、平均平方を計算する
　群間の自由度＝群の数-1
　郡内の自由度＝（群1のサンプルサイズ-1）+（群2のサンプルサイズ-1）+（群3のサンプルサイズ-1）
　全体の自由度＝各郡のデータを合わせたサンプルサイズ-1
　平均平方＝平方和÷自由度
　　　　　　※平方和＝個々のデータと平均値の差を2乗した値の和
⑥指標Fを計算する
　F＝群間の平均平方÷郡内の平均平方
⑦F分布表の該当する自由度のところを見て、求めたFが棄却域に入っているかいないかを判定し、
　帰無仮説を棄却するか、採択するかを決める
　・もしFが棄却域に入っていなければ、帰無仮説を採択する
　・もしFが棄却域に入っていれば、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する
⑧結論を決める
　・帰無仮説を採択した場合、平均に差はない
　・対立仮説を採択した場合、少なくとも1つの組み合わせに差がある

■分散分析（2要因）
①帰無仮説を立てる（要因1による差がなく、要因2による差がなく、また交互作用による差もない）
②帰無仮説の否定である、対立仮説を立てる
　（要因1による差があるか、要因2による差があるか、または交互作用による差があるか、どれか1つが成り立つ）
③有意水準を決める
　通常は厳しくて1%、少し甘くて5%
④得られた標本を使って、要因1・要因2・交互作用の平方和、残差の平方和、全体の平方和を計算する
⑤分散分析表を作り、自由度、平均平方を計算する
　要因1の自由度＝条件数-1
　要因2の自由度＝条件数-1
　交互作用の自由度＝要因1の自由度×要因2の自由度
　全体の自由度＝全体のサンプルサイズ-1
　残差の自由度＝全体の自由度ー（要因1の自由度＋要因2の自由度＋交互作用の自由度）
　平均平方＝平方和÷自由度
　　　　　　※平方和＝個々のデータと平均値の差を2乗した値の和
⑥指標Fを計算する
　要因1、要因2、交互作用の平均平方をそれぞれ、残差の平均平方で割ったものがFとなる
⑦F分布表の該当する自由度のところを見て、求めたFが棄却域に入っているかいないかを判定し、
　帰無仮説を棄却するか、採択するかを決める
　・もしFが棄却域に入っていなければ、帰無仮説を採択する
　・もしFが棄却域に入っていれば、帰無仮説を棄却し、対立仮説を採択する
⑧結論を決める