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基礎問題精講数学1A 90.不定方程式
(1)
例えばx=2、y=1とすると
2xー3y=2・2ー3・1=7 となって成立。
よって➀をみたす(x、y)の一組は(2,1)。(答え)
ほかにも(5,1)や(ー1、ー3)などがある。
(2)
2xー3y=7・・・➀ 2αー3β=7・・・②
➀ー➁より、 ←この作業はセンター。共通テストでも頻出
2xー3y=7
ー)2 αー3 β =7
【2xー2α ー3yー(ー3β)=7-7】 ←※【】内途中計算
【2(x-α)ー3(y-β)=0】
∴2(x-α)ー3(yーβ)=0・・・☆
☆を移項して整理すると
2(x-α)=3(yーβ)・・・☆´
☆´について考えていく。
右辺)係数に3が付いているので3の倍数です。
さらに「=」で結ばれているので 左辺も 3の倍数です。
〇左辺である2(x-α)が3の倍数になるには?
2(x-α)という式に注目して
2×(x-α)。
2×「何か」が3の倍数になるには「何か」が3の倍数だと成立。
よって、
(x-α)は3の倍数
左辺)係数に2が付いているので2の倍数です。
さらに「=」で結ばれているので右辺も2の倍数です。
〇右辺である3(yーβ)が2の倍数になるには?
3(yーβ)という式に注目して
3×(y-β)。
3×「何か」が2の倍数になるには「何か」が2の倍数だと成立。
よって、
(y-β)は2の倍数
(3)
(2)より、(x-α)が3の倍数。(yーβ)が2の倍数であることをnを用いて表現する。
(x-α)=3n、 (y-β)=2n(nは整数)。
(2)で(1)で求めた組を(α、β)とおいているので直して
x-2=3n ⇒ x=3n+2
yー(ー1)=2n ⇒ y=2nー1
➀をみたす(x、y)をすべて求められた
(x、y)=(3n+2、2nー1) (nは整数) (答え)
↑nにいろいろな整数を入れると➀をみたす組を出せる
(4)
(3)でx(3n+2)とy(2nー1)をnを用いて求めているので代入して
グラフ作成↓
下に凸の2次関数なので最小値は頂点の座標で取りたいが
(3)でnは整数と決めたので、
頂点のn=ー8/5の時に最小値にとれません。
n=ー8/5=ー1.6であるからー1よりー2の方が頂点に近いです。
よって、
n=ー2のとき
最小値をとるときのxとyの値も求めなければいけないので
(x、y)=(3n+2、2nー1)にn=ー2を代入して
(x、y)=(3(ー2)+2、2(ー2)ー1)
=(ー4、ー5)
∴(x、y)=(ー4、ー5)のとき最小値ー9をとる。(答え)
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