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基礎問題精講数学1A 90.不定方程式

(1)

例えばx=2、y=1とすると
2xー3y=2・2ー3・1=7   となって成立。

よって➀をみたす(x、y)の一組は(2,1)。(答え)
ほかにも(5,1)や(ー1、ー3)などがある。

(2) 

2xー3y=7・・・➀  2αー3β=7・・・②
➀ー➁より、 ←この作業はセンター。共通テストでも頻出
  2xー3y=7     
ー)2 αー3 β =7
xーα  ー3yー(ー3β)=7-7】  ←※【】内途中計算
【2(x-α)ー3(y-β)=0】

∴2(x-α)ー3(yーβ)=0・・・☆

☆を移項して整理すると
2(x-α)=3(yーβ)・・・☆´
☆´について考えていく。

右辺)係数に3が付いているので3の倍数です。
さらに「=」で結ばれているので  左辺も  3の倍数です。
〇左辺である2(x-α)が3の倍数になるには?

2(x-α)という式に注目して
2×(x-α)。
2×「何か」が3の倍数になるには「何か」が3の倍数だと成立。
よって、
(x-α)は3の倍数


左辺)係数に2が付いているので2の倍数です。
さらに「=」で結ばれているので右辺も2の倍数です。
〇右辺である3(yーβ)が2の倍数になるには?

3(yーβ)という式に注目して
3×(y-β)。
3×「何か」が2の倍数になるには「何か」が2の倍数だと成立。
よって、
(y-β)は2の倍数


(3)

(2)より、(x-α)が3の倍数。(yーβ)が2の倍数であることをnを用いて表現する。
(x-α)=3n、 (y-β)=2n(nは整数)。
(2)で(1)で求めた組を(α、β)とおいているので直して

x-2=3n     ⇒  x=3n+2
yー(ー1)=2n  ⇒ y=2nー1

➀をみたす(x、y)をすべて求められた
(x、y)=(3n+2、2nー1) (nは整数)  (答え)
     ↑nにいろいろな整数を入れると➀をみたす組を出せる


(4)

(3)でx(3n+2)とy(2nー1)をnを用いて求めているので代入して

スクリーンショット (1820)

グラフ作成↓

スクリーンショット (1822)

下に凸の2次関数なので最小値は頂点の座標で取りたいが
(3)でnは整数と決めたので、
頂点のn=ー8/5の時に最小値にとれません。

n=ー8/5=ー1.6であるからー1よりー2の方が頂点に近いです。
よって、
n=ー2のとき

スクリーンショット (1824)

最小値をとるときのxとyの値も求めなければいけないので
(x、y)=(3n+2、2nー1)にn=ー2を代入して
(x、y)=(3(ー2)+2、2(ー2)ー1)
     =(ー4、ー5)

∴(x、y)=(ー4、ー5)のとき最小値ー9をとる。(答え)


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