基礎問題精講数学１A94.整数問題（Ⅱ）

2021年12月16日 23:19

解法１）

整数の大小とその逆数（分数）は入れ替わることより

１≦ｘ≦ｙから　１/ｙ ≦ １/ｘとなる。
１/ｙ ≦ １/ｘの両辺に １/ｙか１/ｘを足すと組を求めたい１/ｘ＋１/ｙ＝１/２の左辺になる。

○１/ｙを足す
１/ｙ ≦ １/ｘ ⇒ １/ｙ＋１/ｙ ≦ １/ｘ＋１/ｙ ⇒　２/ｙ≦１/２ ⇒　４≦ｙ

４≦ｙだとｙを絞り込めていないので使えない

●１/ｘを足す
１/ｙ ≦ １/ｘ　⇒　１/ｘ＋１/ｙ ≦ １/ｘ＋１/ｘ　⇒　１/２≦２/ｘ　⇒ｘ≦４。
１≦ｘ≦ｙからｘの範囲が絞りこめて　１≦ｘ≦４.
この範囲で１/ｘ＋１/ｙ＝１/２をみたす組を探していく.

ｘ＝１のとき
１＋１/ｙ＝１/２　⇒　１/ｙ＝ー１/２　⇒　２＝ーｙ　⇒　ｙ＝ー２
ｙは１以上の自然数なので不適

ｘ＝２のとき
１/２＋１/ｙ＝１/２　⇒　１/ｙ＝０　⇒　ｙ＝０
ｙは１以上の自然数なので不適

ｘ＝３のとき
１/３＋１/ｙ＝１/２　⇒　１/ｙ＝１/６　⇒　ｙ＝６
１以上の自然数であるから適当

ｘ＝４のとき
１/４＋１/ｙ＝１/２　⇒　１/ｙ＝１/４　⇒　ｙ＝４
１以上の自然数であるから適当

よって（ｘ、ｙ）＝（３，６）（４、４）

１/ｘ＋１/ｙ＝１/２の両辺に２ｘｙ掛けて分母消去
１/ｘ＋１/ｙ＝１/２　⇒　２ｘ＋２ｙ＝ｘｙ

１≦ｘ≦ｙを　２ｘ＋２ｙ＝ｘｙの左辺に近づける。
ｘ≦ｙを２倍　⇒２ｘ≦２ｙ。
両辺に２ｘか２ｙを足すと左辺になるので

○２ｘ足す
２ｘ≦２ｙ　⇒　２ｘ＋２ｘ≦２ｘ＋２ｙ　⇒　４ｘ≦ｘｙ　⇒　４≦ｙ
ｙが絞り込めていないので不適

●２ｙ足す
２ｘ≦２ｙ　⇒　２ｘ＋２ｙ≦２ｙ＋２ｙ　⇒　ｘｙ≦４ｙ　⇒　ｘ≦４
１≦ｘ≦ｙと合わせて　１≦ｘ≦４。
この範囲で考えていく

ｘ＝１
２ｘ＋２ｙ＝ｘｙ　⇒　２＋２ｙ＝ｙ　　⇒　　ｙ＝ー２
ｙは１以上の自然数だから不適

ｘ＝２
２ｘ＋２ｙ＝ｘｙ　⇒　４＋２ｙ＝２ｙ　　⇒　　ｙなし

ｘ＝３
２ｘ＋２ｙ＝ｘｙ　⇒　６＋２ｙ＝３ｙ　　⇒　　ｙ＝６
１以上の自然数であるから適当

ｘ＝４
２ｘ＋２ｙ＝ｘｙ　⇒　８＋２ｙ＝４ｙ　　⇒　　ｙ＝４
１以上の自然数であるから適当

よって、（ｘ、ｙ）＝（３，６）（４，４）

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