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基礎問題精講数学1A94.整数問題(Ⅱ)
解法1)
整数の大小とその逆数(分数)は入れ替わることより
1≦x≦yから 1/y ≦ 1/xとなる。
1/y ≦ 1/xの両辺に 1/yか1/xを足すと組を求めたい1/x+1/y=1/2の左辺になる。
○1/yを足す
1/y ≦ 1/x ⇒ 1/y+1/y ≦ 1/x+1/y ⇒ 2/y≦1/2 ⇒ 4≦y
4≦yだとyを絞り込めていないので使えない
●1/xを足す
1/y ≦ 1/x ⇒ 1/x+1/y ≦ 1/x+1/x ⇒ 1/2≦2/x ⇒x≦4。
1≦x≦yからxの範囲が絞りこめて 1≦x≦4.
この範囲で1/x+1/y=1/2 をみたす組を探していく.
x=1のとき
1+1/y=1/2 ⇒ 1/y=ー1/2 ⇒ 2=ーy ⇒ y=ー2
yは1以上の自然数なので不適
x=2のとき
1/2+1/y=1/2 ⇒ 1/y=0 ⇒ y=0
yは1以上の自然数なので不適
x=3のとき
1/3+1/y=1/2 ⇒ 1/y=1/6 ⇒ y=6
1以上の自然数であるから適当
x=4のとき
1/4+1/y=1/2 ⇒ 1/y=1/4 ⇒ y=4
1以上の自然数であるから適当
よって(x、y)=(3,6)(4、4)
解法2)
1/x+1/y=1/2の両辺に2xy掛けて分母消去
1/x+1/y=1/2 ⇒ 2x+2y=xy
1≦x≦yを 2x+2y=xyの左辺に近づける。
x≦yを2倍 ⇒2x≦2y。
両辺に2xか2yを足すと左辺になるので
○2x足す
2x≦2y ⇒ 2x+2x≦2x+2y ⇒ 4x≦xy ⇒ 4≦y
yが絞り込めていないので不適
●2y足す
2x≦2y ⇒ 2x+2y≦2y+2y ⇒ xy≦4y ⇒ x≦4
1≦x≦yと合わせて 1≦x≦4。
この範囲で考えていく
x=1
2x+2y=xy ⇒ 2+2y=y ⇒ y=ー2
yは1以上の自然数だから不適
x=2
2x+2y=xy ⇒ 4+2y=2y ⇒ yなし
x=3
2x+2y=xy ⇒ 6+2y=3y ⇒ y=6
1以上の自然数であるから適当
x=4
2x+2y=xy ⇒ 8+2y=4y ⇒ y=4
1以上の自然数であるから適当
よって、(x、y)=(3,6)(4,4)
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