【統計準1級】8.統計的推定の基礎:モーメント法によるパラメータ推定
モーメント法とは
モーメント法とは、母集団のモーメントと標本モーメントを一致させることで未知のパラメータを推定する手法のことです。
モーメント法によるパラメータ推定手順
1.母集団モーメントの確認
母集団のk次モーメント$${m_k}$$は$${m_k=E[X^k]}$$として定義されます。
1次のモーメント:$${m_1=E[X]=\mu}$$
2次のモーメント:$${m_2=E[X^2]=\sigma^2 + \mu^2}$$
ここで$${\mu}$$は母集団の平均、$${\sigma^2}$$は分散を表しています。
2.標本モーメント(原点回り)の計算
原点回りの標本k次モーメント$${\hat{m_k}}$$は標本データ$${X_1,X_2,\dots X_n}$$のk次の平均として定義されます。:$${\hat{m_k}=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nX_i^k}$$
1次の標本モーメント:$${\hat{m_1}=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n X_i}$$ ・・・・ 標本平均
2次の標本モーメント:$${\hat{m_2}=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n X_i^2}$$
3.標本モーメント(中心回り)の計算
中心回りの標本k次モーメントは中心からの偏差の平均として定義されます。:$${\hat{\mu_k}=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^k}$$
1次の中心モーメント:$${\hat{u_1}=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n(X_i-\bar{X})}$$
2次の中心モーメント:$${\hat{u_2}=\dfrac{1}{n}\Sigma_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}$$ ・・・・ 標本分散
なお、2次の中心モーメントの計算時には$${n-1}$$で割って不偏分散を利用することもあります。
4.パラメータの推定
$${m_1=\hat{m_1},m_2=\hat{m_2}}$$と仮定、或いは$${m_1=\hat{m_1},m_2=\hat{u_2}+\hat{m_1}^2}$$と仮定し、方程式を解いてパラメータを求めます。
例題
問題:ガンマ分布のパラメータ推定
母集団がガンマ分布$${Ga(\alpha, \beta)}$$に従うとする。この母集団から無作為に抽出した5個の標本から次の標本データ:2.0, 3.0, 0.5, 3.5, 2.5を得たとする。モーメント法で母集団のパラメータを推定せよ。
解答1:標本平均と標本分散を用いた推定
![](https://assets.st-note.com/img/1718181263755-lj5q1SUxBw.png?width=1200)
解答2:1次標本モーメントと2次標本モーメントを用いた推定
![](https://assets.st-note.com/img/1718181432958-SSZiXgEVy2.png)
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