統計準1級:5.離散型確率分布
離散一様分布
$${P(X=1)=P(X=2)=・・・=P(X=K)=\dfrac{1}{K}}$$
$${E(X)=\dfrac{K+1}{2},\quad V(X)=\dfrac{K^2-1}{12}}$$
ベルヌーイ分布
$${P(X=x)=p^xq^{1-x} \quad x=0(失敗),1(成功)}$$
$${E(X)=p, \quad V(X)=pq}$$
二項分布
$${P(X=x)={_nC_x}P^x(1-P)^{n-x}}$$
$${E(X)=np, \quad V(X)=npq}$$
超幾何分布
N: 壷中の玉の個数, M: 赤玉の個数, N-M: 白玉の個数,
n: 取出す個数, x: 取出した赤玉の個数赤玉をx個取出す確率:$${\quad P(X=x)=\dfrac{_MC_x \times _{N-M}C_{n-x}}{_NC_n}}$$
$${E(X)=n\frac{M}{N}, \quad V(X)=n\dfrac{M}{N}(1-\dfrac{M}{N})\times\dfrac{N-n}{N-1}}$$
ポアソン分布
$${P(X=x)= \dfrac{λ^x}{x!}e^{-λ}}$$
$${E(X)=λ, \quad V(X)=λ}$$
幾何分布
定義1:成功確率pの試行で、x回目で初めて成功する
$${P(X=x)=(1-p)^{x-1}p}$$
$${E(X)=\dfrac{1}{p}, \quad V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}}$$
定義2:成功確率pの試行で、初めて成功するまでにx回失敗する
$${P(X=x)=p(1-p)^x}$$
$${E(X)=\dfrac{1-p}{p}, \quad V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}}$$
負の2項分布
定義1:k回成功するまでにr回失敗する
$${_{k+r-1}C_rp^k(1-p)^r}$$
$${E(X)=\dfrac{k(1-p)}{p}, \quad V(X)=\dfrac{k(1-p)}{p^2}}$$
定義2:k回成功するまでの総試行回数x
$${{x-1}C{k-1}p^k(1-p)^{x-k}}$$
多項分布
事象$${X_1,X_2・・}$$が起きる確率が$${p_1,p_2・・}$$のとき、各々の試行が$${x_1,x_2・・}$$回起こる確率は、
$${P(X_1=x_1, X_2=x_2,・・,X_k=x_k)=\dfrac{x!}{x_1!x_2!・・x_k!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}..p_k^{x_k}}$$
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