統計準1級：5.離散型確率分布

• 離散一様分布

  • $${P(X=1)=P(X=2)=･･･=P(X=K)=\dfrac{1}{K}}$$

  • $${E(X)=\dfrac{K+1}{2},\quad V(X)=\dfrac{K^2-1}{12}}$$

• ベルヌーイ分布

  • $${P(X=x)=p^xq^{1-x} \quad x=0(失敗),1(成功)}$$

  • $${E(X)=p, \quad V(X)=pq}$$

• 二項分布

  • $${P(X=x)={_nC_x}P^x(1-P)^{n-x}}$$

  • $${E(X)=np, \quad V(X)=npq}$$

• 超幾何分布

  • N: 壷中の玉の個数, M: 赤玉の個数, N-M: 白玉の個数,
    n: 取出す個数, x: 取出した赤玉の個数

  • 赤玉をx個取出す確率:$${\quad P(X=x)=\dfrac{_MC_x \times _{N-M}C_{n-x}}{_NC_n}}$$

  • $${E(X)=n\frac{M}{N}, \quad V(X)=n\dfrac{M}{N}(1-\dfrac{M}{N})\times\dfrac{N-n}{N-1}}$$

• ポアソン分布

  • $${P(X=x)= \dfrac{λ^x}{x!}e^{-λ}}$$

  • $${E(X)=λ, \quad V(X)=λ}$$

• 幾何分布

  • 定義1：成功確率pの試行で、x回目で初めて成功する

    • $${P(X=x)=(1-p)^{x-1}p}$$

    • $${E(X)=\dfrac{1}{p}, \quad V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}}$$

  • 定義2：成功確率pの試行で、初めて成功するまでにx回失敗する

    • $${P(X=x)=p(1-p)^x}$$

    • $${E(X)=\dfrac{1-p}{p}, \quad V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}}$$

• 負の2項分布

  • 定義1：k回成功するまでにr回失敗する

    • $${_{k+r-1}C_rp^k(1-p)^r}$$

    • $${E(X)=\dfrac{k(1-p)}{p}, \quad V(X)=\dfrac{k(1-p)}{p^2}}$$

  • 定義2：k回成功するまでの総試行回数x

    • $${{x-1}C{k-1}p^k(1-p)^{x-k}}$$

• 多項分布

  • 事象$${X_1,X_2･･}$$が起きる確率が$${p_1,p_2･･}$$のとき、各々の試行が$${x_1,x_2･･}$$回起こる確率は、

  • $${P(X_1=x_1, X_2=x_2,･･,X_k=x_k)=\dfrac{x!}{x_1!x_2!･･x_k!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}..p_k^{x_k}}$$