統計準1級：4.変数変換

ここでは1変数の変数変換（Y=aX+b、Y=g(X)）や確率変数の和、2変数の変数変換の場合の確率密度関数の変換公式について説明する。

1変数の変数変換

1次式タイプの場合：Y=aX+b

• $${f_Y(y)=\dfrac{1}{|a|}f_X(\dfrac{y-b}{a})}$$

一般的な1変数の変数変換(単調写像)：Y=g(X)

• 確率変数Xの確率密度関数を$${f_X(x)}$$とし、$${Y=g(X)}$$とする。

• $${g(x)}$$が単調関数で、$${g^{-1}(y)}$$が微分可能であるとき、$${Y}$$の確率密度関数$${f_Y(y)}$$は下記で与えられる。

  • $${f_Y(y)=\dfrac{f_X(x)}{|\frac{d}{dx}g(x)|}=\dfrac{f_X(g^{-1}(y))}{|\frac{d}{dx}g(g^{-1}(y))|}=f_X(g^{-1}(y))\dfrac{d}{dy}|g^{-1}(y)|}$$

  • $${f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|\dfrac{1}{g'(g^{-1}(y))}|}$$

2変数の変数変換

 確率変数の和：Z=X+Y

• $${X,Y}$$の同時確率密度関数$${f(x,y)}$$、確率変数$${Z=X+Y}$$で与えられるとき、$${Z}$$の確率密度関数$${g(z)}$$は下記で与えられる。

  • $${g(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,z-x)dx}$$

• 特に$${X,Y}$$が独立であり、各々の確率密度関数が$${f_X(x), f_Y(y)}$$の時

  • $${g(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx}$$

• 離散型(独立)の場合

  • $${P(Z=n)=P(X+Y=n)=\Sigma_{k=-\infty}^{\infty}P(X=k)P(Y=n-k)}$$

一般的な2変数の変数変換：ヤコビアンの利用

• 連続型の２つの確率変数X,Yの確率密度： $${f_{XY}(x,y)}$$

• $${x=x(u,v), y=y(u,v)}$$によってX,Yを新たな確率変数U,Vに変換する

• U,Vの確率密度$${f_{UV}(u,v)}$$は以下式で与えられる。

  • $${f_{UV}(u,v) = f_{XY}(x(u,v),y(u,v))|J|}$$

  • 但し、$${J=\dfrac{\partial x}{\partial u}・\dfrac{\partial y}{\partial v}-\dfrac{\partial x}{\partial v}・\dfrac{\partial y}{\partial u}}$$