【院試解答】 大阪大学 大学院 情報科学研究科（IST） 2023年度 数学解析

【院試解答】 大阪大学 大学院 情報科学研究科（IST） 2023年度 数学解析

令和4(2022)年度に実施された、大阪大学大学院情報科学研究科（令和5(2023)年度4月入学修士課程）の情報数理学専攻の試験科目、「数学解析」の解答例です。もし誤字・脱字や、解答の誤りを見つけた場合には、連絡いただけると対応します。
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問題は大阪大学大学院情報科学研究科 過去の入試問題にあります。

総評

＜難易度評価＞ 易、やや易、標準、やや難、難の5段階評価。

1. やや難

2. (1)標準、(2)標準

3. (1)やや易、(2)易、(3)標準

＜解答のポイント＞
1は一見すぐに解けそうだが、実際には計算や場合わけなど、慎重な対応が必要。2は、発想が少し必要な上に、グラフの概形を求めるのに、いくつかの点を取る必要がある。3は、フーリエ変換の基本的な性質を使って解くことができる上に、(2),(3)が解ける形になるかどうかで計算ミスを防ぐことができる。以上から、まずは3を解いて、次に2を、最後に1を解くと良いだろう。
以下、ベクトルであっても太字では書かないこととする。また、$${I}$$を単位行列、$${O}$$を零行列とする。

1

解説

$${D^n x = x}$$ の形のODEなので、定石通り特性方程式を解く。特性方程式が複素数根を持つ場合に、実数定数に直さねばならない。本問は原理的には易しいが、指数の肩に指数や三角関数が現れる見慣れない形をしているので、ややとっつきにくい。しかし、落ち着いて計算を進めれば問題ない。少しでも詰まったら、いきなりnの場合を考えず、小さいnの値で考えること。また、任意定数の個数が微分方程式の階数に一致するかどうかは必ず確認すること。